構(gòu)造函數(shù)法在微積分證明中的應(yīng)用參考論文-預(yù)覽頁
【正文】 )可知，在處取得極小值，即為區(qū)間上的最小值，所以當(dāng)時，有．故即．例6：設(shè)，則．分析：此不等式兩邊含有相同的“形式”：，可將不等式變形為，可構(gòu)造輔助函數(shù)．證明：將不等式變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)，則有，令，則有．當(dāng)時，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，則單調(diào)遞增．因此，由極值的第二充分條件(ii)可知在時取得極小值，即最小值．所以當(dāng)，有，即．例7：證明：若，則對于中的任意有： ．分析：顯然設(shè)輔助函數(shù)，若設(shè)，由，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明．考慮到，不難看到不等式，即為與其端點處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之．證明：設(shè)輔助函數(shù)為，則時，有令得,解之得穩(wěn)定點,因函數(shù)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),因而在[0,1]上有最大值和最小值.已知 .有 因此對一切時，有所以原不等式得證.適用范圍（1）所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時；（2）只能證不嚴格的不等式而不能證出嚴格的不等式.（四）構(gòu)造函數(shù)運用凹凸性證明不等式定義1（凹凸性）設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點,恒有那么就稱在區(qū)間I上的圖形是凹的（或凹?。?。 (4) 在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個好方法． 在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計一個容積為的長方體形開口水箱，確定長、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設(shè)水箱的長、寬、高分別為 ， 則水箱容積焊制水箱用去的鋼板面積為這實際上是求函數(shù) 在 限制下的最小值問題.這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題， 其一般形式是在條件 限制下，求函數(shù) 的極值.條件極值與無條件極值的區(qū)別:條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等.例如，求馬鞍面 被平面 （x31馬鞍面）.從其幾何圖形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值.在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題.又如，在總和為C的幾個正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件 的限制下，（條件極值問題）.例1. 求函數(shù) 在條件下的極值.解 令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 當(dāng)時得 ， 故得，代入（2）（3）式得 解得穩(wěn)定點，. 由對稱性得，也是穩(wěn)定點. 設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值 . 當(dāng)滿足約束條件的點是函數(shù)的條件極值點 , 且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時, 由方程決定隱函數(shù), 于是點就是一元函數(shù)的極限點 , 有 ,代入 , 就有 , ( 以下、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點的值 .) 即— , 亦即 ( , ) ,) .可見向量( , )與向量 , )正交. 注意到向量 , )也與向量 ,)正交, 即得向量( , )與向量 , )線性相關(guān),即存在實數(shù), 使 (, ) + ,).亦即 ,且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時,由方程決定隱函數(shù),于是點就是一元函數(shù)的極限點 , 有.代入 , 就有, ( 以下、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點的值 .)即— ,亦即 (, ),) .可見向量(, )與向量,),)也與向量,)正交,即得向量(, )與向量,)線性相關(guān),即存在實數(shù),使(, )+,).亦即 （二） Lagrange乘數(shù)法 :由上述討論可見 , 函數(shù)在約束條件之下的條件極值點應(yīng)是方程組 （1）的解. 引進所謂Lagrange函數(shù):,( 稱其中的實數(shù)為Lagrange乘數(shù) )則上述方程組即為方程組 因此，解決條件極值通常有兩種方法:（1）直接的方法是從方程組(1)中解出 并將其表示為 .代入 消去 成為變量為 的函數(shù) 將問題化為函數(shù) 的無條件極值問題；（2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。又兩式是，的線性齊次方程組，在橢圓上，故不為，即齊次方程有非零解得. 得 恰有兩個根，而故 .例3． 將長度為的鐵絲分成三段，用此三段分別作成圓、才能使這三個圖形的面積之和最小.解 設(shè)分別為圓之半徑、正方形邊長、 滿足約束 ， 令 解得 .約束集為有界閉集，即解下列三個條件極值問題： 穩(wěn)定點分別是 函數(shù)值分別是 , , .又 ， .比較上述7個函數(shù)值得，最小值為 料最省.五、小結(jié)構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用非常廣泛，比如方程根的存在性的證明，中值定理的證明，不等式的證明等都可以用構(gòu)造函數(shù)發(fā)來證明，隨著知識的積累和增加，構(gòu)造函數(shù)法就越加突現(xiàn)重要。如果我們能夠掌握了構(gòu)造法并能運用此方法解決數(shù)學(xué)問題，那么不但可以培養(yǎng)我們的良好的思維品質(zhì)，而且還可以提高我們的抽象思維能力、發(fā)散思維能力和解題能力。郭老師對待工作認真負責(zé)，熱心幫助我完成了論文，每當(dāng)我遇到困難和疑惑的時候，她總會在百忙之中抽出時間耐心的幫助我解決問題
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