【正文】 列求通項(xiàng)公式上有一定的知識(shí)積累；二是數(shù)列的實(shí)質(zhì)是按照一定的規(guī)律排 列成的一列數(shù)，描述這種規(guī)律的最簡(jiǎn)單的形式是通項(xiàng)公式，因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式就成為研究數(shù)列的一個(gè)主要課題。 學(xué)習(xí)構(gòu)造法，最主要的是掌握其思想（構(gòu)造思想）方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用，將構(gòu)造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。遇到問題，首先想到解決該問題需要哪些資源，從哪里可以獲得這些資源；其次要考慮獲得資源后，如何使這些資源得到合理利用，使其產(chǎn)生最大效益。如果若干年后，你即使將學(xué)過的公式忘得一干二凈，最后頭腦中剩下來(lái)的還是構(gòu)造法的這種思維模式，則表明你抓住了構(gòu)造法的精髓。下面我主要對(duì)以下幾個(gè)方面對(duì)“構(gòu)造法在數(shù)列求通項(xiàng)公 式的應(yīng)用”進(jìn)行展開討論。 第一章 緒論 2 第一章 緒論 構(gòu)造法簡(jiǎn)介 在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家一直注重思維的縝密性、相關(guān)聯(lián)的邏輯性和對(duì)新領(lǐng)域的創(chuàng)造性，從而在發(fā)展過程中不斷形成種種數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)結(jié)論，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，數(shù)學(xué)思維的多樣化不僅是科學(xué)發(fā)展的力量，也使我們?cè)诮鉀Q相關(guān)問題時(shí)更加靈活。 構(gòu)造法作為解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實(shí)問題為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題所呈現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，應(yīng)用起來(lái)比較靈活，在解決數(shù)學(xué)問題，特別是數(shù)列問題上占 有重要地位。歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯等，都曾利用構(gòu)造法成功解決過數(shù)學(xué)上的難題。 構(gòu)造法歷史進(jìn)程大概可分為這樣三個(gè)階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段， 德國(guó)的克隆尼克明確提出并強(qiáng)調(diào)了能行性， 并 主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性 ，成為直覺數(shù)學(xué)階段的先驅(qū)者 。他認(rèn)為定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對(duì)象的計(jì)算方法，而存在性的證明對(duì)于要確立其存在的那個(gè)量，應(yīng)當(dāng)許可計(jì)算到任意的精確度。另一 個(gè)強(qiáng)有力的倡導(dǎo)者是彭加勒，他主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。近代構(gòu)造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者是布勞威，他從哲學(xué)和 數(shù)學(xué)兩方面貫徹和發(fā)展了 “存在必須被構(gòu)造 ”的觀點(diǎn)。 二是 算法數(shù)學(xué)階段 。 算法數(shù)學(xué) 是由 馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的， 它 以遞歸函數(shù)理論為基礎(chǔ) ，是 一種把數(shù)學(xué)的一切概念都?xì)w約算法的構(gòu)造性方法。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來(lái)處理 每個(gè)函數(shù) ，每個(gè)實(shí)數(shù) 代表 一個(gè)特定的遞歸函數(shù)等 來(lái)嚴(yán)格定義每一個(gè)概念 。 他 用標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造性的方法，采納直覺派邏輯 ，他所形成的 是一種 即限制對(duì)象的類， 又 限制可容許證明方法的類的理論 。接著， 沙寧 通過對(duì) 各種古典理論在馬爾科夫算法數(shù)學(xué)中的模擬物 的研究， 能夠展述分析中象希爾伯特空間和勒貝格積分的構(gòu)造性理論。馬爾科夫的工作使構(gòu)造性 方法進(jìn)入了 “算法數(shù)學(xué) ”階段 ， 但是， 由于 這種構(gòu)造法依賴于遞歸函數(shù)理論的術(shù)語(yǔ)，使 得 這種算法數(shù)學(xué)外行人讀起來(lái)十分困難，加之馬爾科夫的后繼者們似乎對(duì)于算法數(shù)學(xué)實(shí)踐本身 沒有 對(duì)于復(fù)雜理論及其在計(jì)算機(jī)科學(xué)上的應(yīng)用更有興趣，使之算法數(shù)學(xué)由于缺乏合適的框架來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。 三是 現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段 ，自 1967 年比肖泊的書出版以后，構(gòu)造法進(jìn)入 “現(xiàn)代 第一章 緒論 3 構(gòu)造數(shù)學(xué) ”階段。比肖泊 重新 建 立 現(xiàn)代分析的一個(gè)重要部分， 從而 激發(fā)了構(gòu)造法的活力。他研究的課題 包含 測(cè)度論、泛函微積 和 對(duì)偶理論。尤其是測(cè)度理論 的創(chuàng)立 ，證明了構(gòu)造的 連續(xù)統(tǒng)在一種強(qiáng)的意義下是不可數(shù)的 ， 消除了 人們 對(duì)于在實(shí)直線上構(gòu)造可數(shù)可加測(cè)度的可能性的種種憂慮。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數(shù)學(xué)的自我禁錮，避免 了對(duì) 直覺派的超數(shù)學(xué)原理 的 使用，超脫了對(duì)于形式體系的任何束縛，從而保留了進(jìn)一步創(chuàng)新的余地 。為了讓 一般數(shù)學(xué)家容易看懂 ，他 采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語(yǔ)和符號(hào) 。比肖泊為構(gòu)造法建立了一個(gè)更為廣泛，更為完整的理論，他在馬爾科夫的基礎(chǔ)上解決了閱讀困難和數(shù)學(xué)實(shí)踐上存在的問題，體現(xiàn)出構(gòu)造法的靈活性、廣泛性和實(shí)用性，激發(fā)了人們對(duì)構(gòu)造思想的認(rèn)可。 構(gòu)造法的前景 構(gòu)造法伴隨數(shù)學(xué)成長(zhǎng)，解決了數(shù)學(xué)中很多難以解決的問題，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了成就，在以后數(shù)學(xué)的發(fā)展中，構(gòu)造法還可以 用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，尤其是圖論更是構(gòu)造數(shù)學(xué)發(fā)展的典型領(lǐng)域之一。因?yàn)閳D的定義就是構(gòu)造性的，同時(shí)圖的許多應(yīng)用問題，如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達(dá)式等，也都是構(gòu)造性很強(qiáng)的問題。 同時(shí)，構(gòu)造法還可以 用于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理尋找構(gòu)造性解釋。此外，拓?fù)鋵W(xué)，特別是維數(shù)理論，也是可以為構(gòu)造法的洞察力提供實(shí)例的數(shù)學(xué)分支，所以也是構(gòu)造數(shù)學(xué)有待 開發(fā)的新領(lǐng)域。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 4 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 一級(jí)構(gòu)造 所謂一級(jí)構(gòu)造，就是只通過一次模型轉(zhuǎn)換就得出結(jié)論的思想方法。一級(jí)構(gòu)造也稱為初級(jí)構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式形式，所以說，一級(jí)構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。 一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 一般地，形如 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的式子，我們稱為一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。 注意： dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是其中一種一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式，而不是唯一的一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。 模型 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d為常數(shù)），求通項(xiàng)公式 na 。 分析：不妨設(shè) ? ? ? ?AacAa nn ??? ?1 即 AcAcaa nn ??? ?1 又 ? dcaa nn ?? ?1 ? dAcA ?? 即 1??cdA ? ?????? ????????? ?? ? 11 1 cdaccda nn （驗(yàn)證： ?????? ????????? ?? ? 11 1 c dacc da nn ? 111 ????? ? c dccdcaa n ? dcaa nn ?? ?1） ?數(shù)列 ?????? ?? 1cdan是以 11 ??cda為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 5 ? 11 11 ??????? ????? nn ccdacda 從而得出：????? ????????????? ? 2,111,111nc dcc danaa nn ※ 結(jié)論 1（重點(diǎn)結(jié)論） : 一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的通項(xiàng)公式為： 11 11 ???????? ??? ? cdccdaa nn（ 2?n ）。 例 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 12 1?? ?nn aa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解： 不妨設(shè) ? ? ? ?AaAa nn ??? ?12 即 AAaa nn ??? ? 22 1 又 ? 12 1?? ?nn aa ? 12 ??AA 即： 1?A ? ? ? ? ?121 1??? ?nn aa ? 數(shù)列 ? ?1?na 是以 11?a 為 首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列 ? nna 21?? 從而得出： 12 ?? nna 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1121 ???a ，滿足 12 ?? nna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 12 ?? nna 超一級(jí)構(gòu)造 在一級(jí)構(gòu)造表達(dá)式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）中， d 為常數(shù)，然而在很多數(shù)列題型 中， d 是一個(gè)關(guān)于 n 的函數(shù)，于是，我們把形如 ? ?nfcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c 為常數(shù)， f(n)為關(guān)于 n 的函數(shù)）的式子，我們稱為超一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 6 下面我們以兩種常用的超一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ） 和11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ）來(lái)講解超一級(jí)構(gòu)造思想。 模型 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 思想構(gòu)造：不妨設(shè) ? ?? ?BnAacBAna nn ?????? ? 11 即 ? ? cABcBnAcAcaa nn ?????? ? 1 又 ? ncaa nn ?? ?1 ? ??? ??? ?? 01cABcB AcA ? ? ???????????2111ccB cA ? ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn （驗(yàn)證： ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn? ncaa nn ?? ?1 ） ? 數(shù)列 ? ? ?????? ???? 211 c cc na n 是以 ? ?21 111 ???? c cca為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列。 ? ? ? ? ? 1212 11111 ????????? ????????? nn cc ccac cc na 從而得出：? ? ? ?????? ??????????????????? ? 2,111111,21211nc cc ncc ccanaa nn ※ 結(jié)論 2：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）的通項(xiàng)公式為： 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 7 ? ? ? ?2121 11111 ???????????? ????? ? c cc ncc ccaa nn （ 2?n ） 例 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 naa nn ?? ?12 （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解 2： 不妨設(shè) ? ?? ?BnAaBAna nn ?????? ? 12 1 即 ? ? ABBnAAaa nn 2222 1 ?????? ? 又 ? naa nn ?? ?12 ? ??? ??? ?? 022 12 ABB AA ? ?????21BA ? ? ?2122 1 ?????? ? nana nn ? 數(shù)列 ? ?2??nan 是以 4 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。 ? 1242 ????? nn na 從而得出： 22 1 ??? ? na nn 當(dāng) 1?n 時(shí)， 121221 ????a ，滿足 22 1 ??? ? na nn 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 22 1 ??? ? na nn 模型 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 思想構(gòu)造： 不妨設(shè) ? ?11 ?? ??? nnnn xdacxda 即 ? ?nnnn dcdxcaa ??? ?? 11 又 ? 11 ?? ?? nnn dcaa