【正文】 7 186 ??? nna， 7 18 ?? nnb 第四章 總結(jié) 21 第四章 總結(jié) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 通過對(duì)構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用的研究，構(gòu)建了多種常用的相關(guān)模型，講述了不同題型的構(gòu)造思想的常規(guī)點(diǎn)和注重點(diǎn)，得出一系列有用的結(jié)論。特征函數(shù)的實(shí)質(zhì)是通過一定模型構(gòu)造，對(duì)元的相消轉(zhuǎn)換而得出的方程，我以求題型dca baaa nnn ??? ??11的特征方程為例來說明： 假如存在 1x ， 2x 為題型dca baaa nnn ??? ??11的兩個(gè)根， 下面對(duì) 21 xx? ， 21 xx? 兩種情況進(jìn)行討論 : 1.當(dāng) 21 xx? 時(shí)，構(gòu)造數(shù)列： cxaxa nn ???? ?111 轉(zhuǎn)換化簡(jiǎn)得： ? ?11121?? ??? ? ?cxca cxacxa n nn 由dca baaa nnn ??? ??11相比較得： ???????????????112cxdcccxbcxa ? ?????????cbx cdax22 從而可得特征方程： ? ? dcx baxxbxadcx ???????? 02 第四章 總結(jié) 23 2.當(dāng) 21 xx? 時(shí)，構(gòu)造數(shù)列： 211121 xa xacxa xannnn ???????? 轉(zhuǎn)換化簡(jiǎn)得： ? ? ? ?? ?21121121 1 1xcxac xxcacxxannn ??? ?????? 由dca baaa nnn ??? ??11相比較得： ? ????????????????21212111xcxdccxxcbcxxa ? ??????????cbxx cdaxx2121 從而可得特征方程： ? ? dcx baxxbxadcx ???????? 02 綜上可知，題型dca baaa nnn ??? ??11的特征方程為 ? ? 02 ???? bxadcx ，或者表示為 dcx baxx ??? 。 從內(nèi)容變更上， 大致經(jīng)歷了以下變更， 論文的選題經(jīng)過了一次變更，章節(jié)的設(shè)計(jì)經(jīng)過了兩次變更，內(nèi)容的構(gòu)造上經(jīng)過了兩次變更。經(jīng)過以上變更，使得在內(nèi)容上具有一般性，結(jié)論上具有特殊性，應(yīng)用價(jià)值上具有廣泛適用性。在模型的證明中，注重構(gòu)造思想的講解，希望讀者不但了解模型及結(jié)論，同時(shí)要掌握模型構(gòu)建的構(gòu)造思想 。 本文設(shè)計(jì)的內(nèi)容較多，很多結(jié)論需要大量題型論證，由于時(shí)間匆促，更受科學(xué)水平和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的限制，一定存在不少缺點(diǎn)，甚至還有錯(cuò)誤之處，懇切希望讀者朋友們提出批評(píng)和指正。文中所研究的都是比較典型的模型，并配有相關(guān)例子。在此次論文的編寫過程中，讓我學(xué)習(xí)到了不少東西，無論是知識(shí)結(jié)構(gòu)上，還是論文設(shè)計(jì)上；無論是知識(shí)水平上，還是人際關(guān)系上，都有很多收獲。第一次變更是將一級(jí)構(gòu)造，二級(jí)構(gòu)造和三級(jí)構(gòu)造歸納為簡(jiǎn)易構(gòu)造，第二次變更是增加了一個(gè)章節(jié) —— 總結(jié)。 在題型設(shè)計(jì)上，我采用由易到難來布置題型，使讀者在思維上層層上進(jìn)，對(duì)我所講的知識(shí)也更容易理解和接受。它是本課題研究的核心知識(shí)點(diǎn)，之所以為核心，是由于它在構(gòu)造法應(yīng)用中具有廣泛性。 解：由特征方程 652 ?? xx 解得： 221 ??xx 于是有： ? ? ? ? 111211 2322222 ???? ??????? nnnnnn aaaaaa 即： 11 232 ?? ??? nnn aa 兩邊同時(shí)除以 12?n 得： 322211 ?? ??? nnnn aa 所以數(shù)列?????? ?22nna是以 22211 ??a為首項(xiàng)， 3 為公差的等差數(shù)列 即有： ? ? 31222 ????? nann 從而解得： ? ? 2213 ???? nn na 例 3： 在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ， 52?a ,且數(shù)列 ??na 滿足 nnn aaa 65 12 ?? ?? ，求通項(xiàng)公式 na 。 分析： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?baa abcac aaca n nnn ? ???? ? ?? 1 12 1 進(jìn)一步假設(shè)： cac 2? ， 2cabc? 即 2?a ， abc? 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 15 可得： ? ?? ?baa cacannn ??????121 ......................................? 由題意： ? ?baa aa nnn ?? ??121 .........................................? ?/?得： 211 ???????? ????? ca aca annnn 兩邊取對(duì)數(shù)： caacaa n nn n ?? ??? 1 1lg2lg （取對(duì)） 所以數(shù)列?????????? ?caannlg 是以 caa?11lg 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。 解：將 12 ?? nn aa 兩邊取其對(duì)數(shù)，可得： 2lglg21lg 1 ?? ?nn aa 設(shè) nanb lg? ，則 21 lg21 ?? ?nn bb（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 212 lg221lg2 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出： 121414 ???????????????nna ? ?2?n 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1414 0211 ???????????????a ，滿足 121414???????????????nna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 121414 ???????????????nna 三級(jí)構(gòu)造 三級(jí)構(gòu)造是一級(jí)構(gòu)造和二級(jí)構(gòu)造的疊加，思維更加縝密，難度要求更大，它結(jié)合了地推 、 替代 、取對(duì)等構(gòu)造方法，逐步轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)單的一級(jí)構(gòu)造。 模型 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn qpaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解： 不妨設(shè) ? ?11 242 ?? ??? nnnn xaxa 即 ? ?nnnn xaa 224 11 ??? ?? 又 ? 11 24 ?? ?? nnn aa ? ? ? 11 222 ?? ?? nnnx 即： 21?x ? ? ?211 242 ??? ??? nnnn aa ? 數(shù)列 ? ?12?? nna 是以 2 為首項(xiàng)， 4 為公比的等比數(shù)列。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 6 下面我們以兩種常用的超一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ） 和11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ）來講解超一級(jí)構(gòu)造思想。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 4 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 一級(jí)構(gòu)造 所謂一級(jí)構(gòu)造，就是只通過一次模型轉(zhuǎn)換就得出結(jié)論的思想方法。尤其是測(cè)度理論 的創(chuàng)立 ，證明了構(gòu)造的 連續(xù)統(tǒng)在一種強(qiáng)的意義下是不可數(shù)的 ， 消除了 人們 對(duì)于在實(shí)直線上構(gòu)造可數(shù)可加測(cè)度的可能性的種種憂慮。 算法數(shù)學(xué) 是由 馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的， 它 以遞歸函數(shù)理論為基礎(chǔ) ，是 一種把數(shù)學(xué)的一切概念都?xì)w約算法的構(gòu)造性方法。 第一章 緒論 2 第一章 緒論 構(gòu)造法簡(jiǎn)介 在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家一直注重思維的縝密性、相關(guān)聯(lián)的邏輯性和對(duì)新領(lǐng)域的創(chuàng)造性，從而在發(fā)展過程中不斷形成種種數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)結(jié)論，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，數(shù)學(xué)思維的多樣化不僅是科學(xué)發(fā)展的力量，也使我們?cè)诮鉀Q相關(guān)問題時(shí)更加靈活。內(nèi)容上比較偏重于思想，偏重于方法，偏重于應(yīng)用，而不是過于追求嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。本人授權(quán)安順學(xué)院可以將本論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）。對(duì)本文的研究 作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式表明。 構(gòu)造法在解題中雖然沒有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通過對(duì)常見數(shù)列模型的研究，可以給讀者一定思維上的啟發(fā)，同時(shí)，本論文所涉及到的模型也可成為解決其他模型的基礎(chǔ)。遇到問題，首先想到解決該問題需要哪些資源，從哪里可以獲得這些資源；其次要考慮獲得資源后，如何使這些資源得到合理利用，使其產(chǎn)生最大效益。另一 個(gè)強(qiáng)有力的倡導(dǎo)者是彭加勒，他主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。 三是 現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段 ，自 1967 年比肖泊的書出版以后，構(gòu)造法進(jìn)入 “現(xiàn)代 第一章 緒論 3 構(gòu)造數(shù)學(xué) ”階段。因?yàn)閳D的定義就是構(gòu)造性的，同時(shí)圖的許多應(yīng)用問題，如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達(dá)式等，也都是構(gòu)造性很強(qiáng)的問題。 分析：不妨設(shè) ? ? ? ?AacAa nn ??? ?1 即 AcAcaa nn ??? ?1 又 ? dcaa nn ?? ?1 ? dAcA ?? 即 1??cdA ? ?????? ????????? ?? ? 11 1 cdaccda nn （驗(yàn)證： ?????? ????????? ?? ? 11 1 c dacc da nn ? 111 ????? ? c dccdcaa n ? dcaa nn ?? ?1） ?數(shù)列 ?????? ?? 1cdan是以 11 ??cda為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 5 ? 11 11 ??????? ????? nn ccdacda 從而得出：????? ????????????? ? 2,111,111nc dcc danaa nn ※ 結(jié)論 1（重點(diǎn)結(jié)論） : 一級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的通項(xiàng)公式為： 11 11 ???????? ??? ? cdccdaa nn（ 2?n ）。 ? 1242 ????? nn na 從而得出： 22 1 ??? ? na nn 當(dāng) 1?n 時(shí)， 121221 ????a ，滿足 22 1 ??? ? na nn 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 22 1 ??? ? na nn 模型 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來 分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用。 解：將32 1 1?? ? ?n nn a aa兩邊取其倒數(shù)，可得：