【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? 11 ?? ?? nnn ddcdx 即 dcx ?? 1 ? ???????? ????? ?? dcdacdcda nnnn 11 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 8 （驗(yàn)證： ???????? ????? ?? dcdacdc da nnnn 11 ? 11 ?? ?? nnn dcaa ） ? 數(shù)列?????? ?? dcda nn 是以 dcda ??1 為首項(xiàng)， c 為公比的等比數(shù)列。 ? 11 ??????? ????? nnn cdc dadc da ， ? ?2?n 從而可得： ?????? ????????????? ? 2,1,111ndc dcdc danaa nnn ※ 結(jié)論 3：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ）的通項(xiàng)公式為 ： dcdcdc daannn ???????? ??? ?11 ? ?2?n 例 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 24 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解： 不妨設(shè) ? ?11 242 ?? ??? nnnn xaxa 即 ? ?nnnn xaa 224 11 ??? ?? 又 ? 11 24 ?? ?? nnn aa ? ? ? 11 222 ?? ?? nnnx 即： 21?x ? ? ?211 242 ??? ??? nnnn aa ? 數(shù)列 ? ?12?? nna 是以 2 為首項(xiàng)， 4 為公比的等比數(shù)列。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時(shí)除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會(huì)很快得出答案，我們把這一類型稱為二級(jí)構(gòu)造（見下一節(jié)）。需要注意的是，不是所有的超一級(jí)構(gòu)造都能轉(zhuǎn)變成一級(jí) 構(gòu)造，比如說：超一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）就不能轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造。 二級(jí)構(gòu)造 二級(jí)構(gòu)造是在一級(jí)構(gòu)造的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的，也就是通過一定的方法取構(gòu)，能轉(zhuǎn)變成一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式的方法，我們稱為二級(jí)構(gòu)造。二級(jí)構(gòu)造在思維上增加了難度，但在對(duì)一級(jí)構(gòu)造的理解的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)二級(jí)構(gòu)造，也是比較容易理解掌握的。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來 分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用。 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 1（除法構(gòu)造） 一般的，形如 ? ?nfpaa nn ?? ?1 （ 2?n ， ??nf 是指數(shù)函數(shù)且 0?p ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。特殊地，當(dāng) p=1 時(shí)， ? ?nfpaa nn ?? ?1 （ 2?n ）等差。 模型 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn qpaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 思想構(gòu)造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時(shí)除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設(shè)nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項(xiàng) 公式 na 。 解：將 11 23 ?? ?? nnn aa 兩邊同時(shí)除以 n2 ，可得： 21223211??? ??nnnn aa 設(shè)nnn ab 2?，則 21231 ?? ?nn bb（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 123 ????????nna（ 2?n ） 從而得出： nnna 23 ?? （ 2?n ） 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1231 ???a ，滿足 nnna 23 ?? 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 nnna 23 ?? 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 2 (取倒構(gòu)造 ) 一般的，形如cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ， c,d 為常數(shù)且 0?d ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 模型 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 思想構(gòu)造：將cadaa n nn ?? ? ?1 1兩邊取其倒數(shù)，可得： dadca nn 111 1??? ? 設(shè)nn ab1? ，則 dbdcb nn 11 ?? ? （滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 11 由結(jié)論 1 得：???????????????????? ???? ? 2,111,111ndcdcdcbnbb nn 從而得出：???????????????????????????? ? 2,111 11,111ndcdcdcanaa nn 例 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足32 1 1?? ? ?n nn a aa（ 2?n ），求通項(xiàng) 公式 na 。 解：將32 1 1?? ? ?n nn a aa兩邊取其倒數(shù)，可得： 211231 1??? ?nn aa 設(shè)nn ab1? ，則 2123 1 ?? ?nn bb （滿足 一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 12321 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出：21223 2?????nnnna ? ?2?n 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1212111 ??a，滿足21223 2?????nnnna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為21223 2?????nnnna 二級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 3 (取對(duì)構(gòu)造 ) 一般的，形如 a nn aba 1?? （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?b ）的式子，我們稱為二級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 模型 6：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 1?? nn aba （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 12 思想構(gòu)造：將 1?? nn aba 兩邊取其對(duì)數(shù)，可得： baa nn lglg21lg 1 ?? ? 設(shè) nanb lg? ，則 bnn bb lg21 1 ?? ?（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： ? ????????????????? ? 2,lg221lg21,111nbnbb bnbn 從而得出：??????????????? ??????? 2,1,1212121nbabnaa nn 例 6：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 12 ?? nn aa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解：將 12 ?? nn aa 兩邊取其對(duì)數(shù)，可得： 2lglg21lg 1 ?? ?nn aa 設(shè) nanb lg? ，則 21 lg21 ?? ?nn bb（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得： 212 lg221lg2 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出： 121414 ???????????????nna ? ?2?n 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1414 0211 ???????????????a ，滿足 121414???????????????nna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 121414 ???????????????nna 三級(jí)構(gòu)造 三級(jí)構(gòu)造是一級(jí)構(gòu)造和二級(jí)構(gòu)造的疊加，思維更加縝密，難度要求更大，它結(jié)合了地推 、 替代 、取對(duì)等構(gòu)造方法，逐步轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)單的一級(jí)構(gòu)造。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。以下是兩種典型的三級(jí)構(gòu)造模型。 三級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 1 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造 13 一般地，形如1??? nn abaa （ 2?n ， a,b 為常數(shù)）的式子，我們稱為三級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式。 模型 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足1??? nn abaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 分析： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?caa caca nnn ???? ?? 11 則： ? ?1?????? nn a caccaca 又由題意： 1??? nn abaa 相比較得： ? ?cacb ?? 從而解得： 2 42 baac ??? 于是有： ? ?? ?cacaca ccaca aca nnnn ?????????? ??? 111 111（取倒） 設(shè)cab nn ?? 1，則cabca cb nn ???? ? 11（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得：?????????????? ??????? ??? ? 2,21211,111nacca cacbnbb nn 從而得出：???????????????????????? ??? ? 2,212111,111ncaccacacbnaa nn 例 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 21?a ，且數(shù)列 ??na 滿足112??? nn aa（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。