【正文】 線可以歸納為：“題型構(gòu)造 —— 模型構(gòu)造—— 模型結(jié)合題型構(gòu)造”，也可以歸納為：“數(shù)字研究 —— 字母研究 —— 字母結(jié)合數(shù)字研究”。 第一，在編寫過程中，力圖做到“由淺入深，循序漸進(jìn)”和“少而精”；注意突出重點(diǎn)，力求論證詳細(xì)明了，便于讀者自學(xué)。 在內(nèi)容上，以高中數(shù)列難度來要求，所選模型均為高中經(jīng)常遇到的模型，具有代表性，比如一級構(gòu)造模型 dcaa nn ?? ?1 ? ?2?n ，作為數(shù)列構(gòu)造的基礎(chǔ)，多數(shù)模型構(gòu)造都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)樵撃Ｐ?，在利用結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn ? ?2?n，最終得出結(jié)果。此外，本文研究的內(nèi)容有限，但數(shù)列求和等很多問題與文中模型的構(gòu)造方法類似，讀者可以對感興趣的相關(guān)問題進(jìn)行探討。我也希望此論文能在知識結(jié)構(gòu)，思維方式等各個(gè)方面上幫助到讀者朋友。通過這兩次的變更，章節(jié)的結(jié)構(gòu)得以完善。本課題重點(diǎn)在第二章簡易數(shù)列和第三章復(fù)合數(shù)列，其中第二章設(shè)計(jì)了一級構(gòu)造、二級構(gòu)造和三級構(gòu)造，都屬于簡單的構(gòu)造題型，一級構(gòu)造是構(gòu)造思想的基礎(chǔ)，其中的題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）和重點(diǎn)結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn（ 2?n ）是需要讀者注重記憶的，因?yàn)槎? 第四章 總結(jié) 24 級構(gòu)造、三級構(gòu)造以及更高級的構(gòu)造都可以逐步構(gòu)造最終轉(zhuǎn)換成一級構(gòu)造的形式，而題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是一級構(gòu)造中最常見的題型，記住該題型和結(jié)論可以減少計(jì)算量和簡化思維。 知識點(diǎn)二：二級構(gòu)造 模型： 11 ?? ?? nnn qpaa ? ?2?n ，結(jié)論：qpqpqp qaannn ?????????? ??? ? 11 ? ?2?n ； 模型：cadaa n nn ?? ? ?1 1 ? ?2?n ，結(jié)論：dcdcdcaa nn??????????????????? ? 111 1 11 ? ?2?n ； 模型： a nn aba 1?? ? ?2?n ，結(jié)論： 121212???????????????nbaban ? ?2?n 。 解：由特征方程 652 ?? xx 解得： 21?x ， 32?x 于是有： ? ? ? ? 11211 32232 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ? ? ? ? 11211 23323 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ??得： ? ? ? ? 112112 2332 ?? ???? nnn aaaaa 所以： nnna 23?? 關(guān)于 ? ?? ???? ?? 0021 nn nn baf baf 的復(fù)合構(gòu)造 對于這一類型的復(fù)合數(shù)列，我們需要構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，使之等差或等比。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? nba aba an n ? ?2?n 于是得出：?????????????????????????????????2,12221,112112111nbaabaabnaannn 例 8：在數(shù)列 ??na 中，已知 31?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ? ?12 121?? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。 思想構(gòu)造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時(shí)除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設(shè)nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡易構(gòu)造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項(xiàng) 公式 na 。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時(shí)除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會(huì)很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。 模型 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數(shù)學(xué)的自我禁錮，避免 了對 直覺派的超數(shù)學(xué)原理 的 使用，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進(jìn)一步創(chuàng)新的余地 。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來處理 每個(gè)函數(shù) ，每個(gè)實(shí)數(shù) 代表 一個(gè)特定的遞歸函數(shù)等 來嚴(yán)格定義每一個(gè)概念 。 構(gòu)造法作為解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實(shí)問題為基礎(chǔ)，針對具體問題所呈現(xiàn)出來的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，應(yīng)用起來比較靈活，在解決數(shù)學(xué)問題，特別是數(shù)列問題上占 有重要地位。 在實(shí)習(xí)期間，我主要授課內(nèi)容是高一數(shù)列部分，通過與同學(xué)們的交流，我了解到學(xué)生在解決數(shù)列問題上存在的問題；通過與老師的交流，我得出了一些很好的解決方法，并形成了很多很好的結(jié) 論，比如說，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前 n 項(xiàng)和所成的數(shù)列都是一些最特殊、最基本的數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式用演繹法套公式解決，大多數(shù)學(xué)生都能掌握，而讓學(xué)生以及老師困惑的都是其他類型的數(shù)列。 作者簽名： 日期： 導(dǎo)師簽名： 日期： 摘 要 I 構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 202102021065 姓名：陳斌 指導(dǎo)教師：劉太河 摘 要 所謂構(gòu)造法，就是將陌生的模型轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ哪Ｐ?，而不改變原題意的 一種方法，其中轉(zhuǎn)變的分析過程就是構(gòu)造思想。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果。在內(nèi)容上以“模型 —— 構(gòu)造 ——結(jié)論”為主線構(gòu)建，核心是構(gòu)造思想，重點(diǎn)是模型和結(jié)論。 學(xué)習(xí)構(gòu)造法，最主要的是掌握其思想（構(gòu)造思想）方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用，將構(gòu)造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。他認(rèn)為定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對象的計(jì)算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個(gè)量，應(yīng)當(dāng)許可計(jì)算到任意的精確度。馬爾科夫的工作使構(gòu)造性 方法進(jìn)入了 “算法數(shù)學(xué) ”階段 ， 但是， 由于 這種構(gòu)造法依賴于遞歸函數(shù)理論的術(shù)語，使 得 這種算法數(shù)學(xué)外行人讀起來十分困難，加之馬爾科夫的后繼者們似乎對于算法數(shù)學(xué)實(shí)踐本身 沒有 對于復(fù)雜理論及其在計(jì)算機(jī)科學(xué)上的應(yīng)用更有興趣，使之算法數(shù)學(xué)由于缺乏合適的框架來進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。 構(gòu)造法的前景 構(gòu)造法伴隨數(shù)學(xué)成長，解決了數(shù)學(xué)中很多難以解決的問題，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了成就，在以后數(shù)學(xué)的發(fā)展中，構(gòu)造法還可以 用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，尤其是圖論更是構(gòu)造數(shù)學(xué)發(fā)展的典型領(lǐng)域之一。 模型 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d為常數(shù)），求通項(xiàng)公式 na 。 解 2： 不妨設(shè) ? ?? ?BnAaBAna nn ?????? ? 12 1 即 ? ? ABBnAAaa nn 2222 1 ?????? ? 又 ? naa nn ?? ?12 ? ??? ??? ?? 022 12 ABB AA ? ?????21BA ? ? ?2122 1 ?????? ? nana nn ? 數(shù)列 ? ?2??nan 是以 4 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。二級構(gòu)造在思維上增加了難度，但在對一級構(gòu)造的理解的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)二級構(gòu)造，也是比較容易理解掌握的。 思想構(gòu)造：將cadaa n nn ?? ? ?1 1兩邊取其倒數(shù)，可得： dadca nn 111 1??? ? 設(shè)nn ab1? ，則 dbdcb nn 11 ?? ? （滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 第二章 簡易構(gòu)造 11 由結(jié)論 1 得：???????????????????? ???? ? 2,111,111ndcdcdcbnbb nn 從而得出：???????????????????????????? ? 2,111 11,111ndcdcdcanaa nn 例 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足32 1 1?? ? ?n nn a aa（ 2?n ），求通項(xiàng) 公式 na 。 模型 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足1??? nn abaa （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 例 1： 在數(shù)列 ??na 中，已知 21?a ，且數(shù)列 ??na 滿足12 211 ??? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 解：構(gòu)造新數(shù)列 ? ?nn ba ?? ，則有： ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ?? nnnnnn bababa ?????? 7 26726711 令 ??? ??? 7 26 ，解得： 11?? 或 62 ??? 所以 數(shù)列 ? ?nn ba ?? 是首項(xiàng)為 11 ba ?? ， ??7 為公比的等比數(shù)列 即： ? ?? ? 111 7 ????? nnn baba ??? 當(dāng) 11?? 時(shí)，有： nnn ba 8?? ..................................................? 當(dāng) 11?? 時(shí)，有： 16 ?? nn ba ..................................................? 聯(lián)立 ?、 ?得： ??? ?? ?? 16 8nnnnnba ba 從而解得：