【正文】 線可以歸納為：“題型構造 —— 模型構造—— 模型結合題型構造”，也可以歸納為：“數字研究 —— 字母研究 —— 字母結合數字研究”。 第一，在編寫過程中，力圖做到“由淺入深，循序漸進”和“少而精”；注意突出重點，力求論證詳細明了，便于讀者自學。 在內容上，以高中數列難度來要求，所選模型均為高中經常遇到的模型，具有代表性，比如一級構造模型 dcaa nn ?? ?1 ? ?2?n ，作為數列構造的基礎，多數模型構造都會轉變?yōu)樵撃Ｐ?，在利用結論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn ? ?2?n，最終得出結果。此外，本文研究的內容有限，但數列求和等很多問題與文中模型的構造方法類似，讀者可以對感興趣的相關問題進行探討。我也希望此論文能在知識結構，思維方式等各個方面上幫助到讀者朋友。通過這兩次的變更，章節(jié)的結構得以完善。本課題重點在第二章簡易數列和第三章復合數列，其中第二章設計了一級構造、二級構造和三級構造，都屬于簡單的構造題型，一級構造是構造思想的基礎，其中的題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數）和重點結論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn（ 2?n ）是需要讀者注重記憶的，因為二 第四章 總結 24 級構造、三級構造以及更高級的構造都可以逐步構造最終轉換成一級構造的形式，而題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數）是一級構造中最常見的題型，記住該題型和結論可以減少計算量和簡化思維。 知識點二：二級構造 模型： 11 ?? ?? nnn qpaa ? ?2?n ，結論：qpqpqp qaannn ?????????? ??? ? 11 ? ?2?n ； 模型：cadaa n nn ?? ? ?1 1 ? ?2?n ，結論：dcdcdcaa nn??????????????????? ? 111 1 11 ? ?2?n ； 模型： a nn aba 1?? ? ?2?n ，結論： 121212???????????????nbaban ? ?2?n 。 解：由特征方程 652 ?? xx 解得： 21?x ， 32?x 于是有： ? ? ? ? 11211 32232 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ? ? ? ? 11211 23323 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ??得： ? ? ? ? 112112 2332 ?? ???? nnn aaaaa 所以： nnna 23?? 關于 ? ?? ???? ?? 0021 nn nn baf baf 的復合構造 對于這一類型的復合數列，我們需要構造一個新數列，使之等差或等比。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? nba aba an n ? ?2?n 于是得出：?????????????????????????????????2,12221,112112111nbaabaabnaannn 例 8：在數列 ??na 中，已知 31?a ，且數列 ??na 滿足 ? ?12 121?? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項公式 na 。這使得構造法在數列中體現(xiàn)得更加 完美。 思想構造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級構造數列表達式） 由結論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡易構造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數列 ??na 中，已知 11?a ，且數列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項 公式 na 。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數列 ??na 的通項公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構造數列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構造 9 （ 2?n ）兩邊同時除以 nd ，就可以將其轉化為一級構造數列表達式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構造（見下一節(jié)）。 模型 2：在數列 ??na 中，已知 1a ，且數列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項公式 na 。一級構造也稱為初級構造，它是構造法在數列中應用的基礎，也就是說，在利用構造法解決數列題型的問題中，最終都要將題型轉變成一級構造的數列表達式形式，所以說，一級構造是構造初步，也是構造法的核心。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數學的自我禁錮，避免 了對 直覺派的超數學原理 的 使用，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進一步創(chuàng)新的余地 。 馬爾科夫 用哥德爾數的辦法來處理 每個函數 ，每個實數 代表 一個特定的遞歸函數等 來嚴格定義每一個概念 。 構造法作為解決數學問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實問題為基礎，針對具體問題所呈現(xiàn)出來的特點而采取相應的解決問題的辦法，應用起來比較靈活，在解決數學問題，特別是數列問題上占 有重要地位。 在實習期間，我主要授課內容是高一數列部分，通過與同學們的交流，我了解到學生在解決數列問題上存在的問題；通過與老師的交流，我得出了一些很好的解決方法，并形成了很多很好的結 論，比如說，對于等差數列和等比數列以及它們的前 n 項和所成的數列都是一些最特殊、最基本的數列，它們的通項公式用演繹法套公式解決，大多數學生都能掌握，而讓學生以及老師困惑的都是其他類型的數列。 作者簽名： 日期： 導師簽名： 日期： 摘 要 I 構造法在求數列通項公式中的應用 專業(yè)：數學與應用數學 學 號： 202102021065 姓名：陳斌 指導教師：劉太河 摘 要 所謂構造法，就是將陌生的模型轉變?yōu)槭煜さ哪Ｐ?，而不改變原題意的 一種方法，其中轉變的分析過程就是構造思想。除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文（設計）不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫的成果。在內容上以“模型 —— 構造 ——結論”為主線構建，核心是構造思想，重點是模型和結論。 學習構造法，最主要的是掌握其思想（構造思想）方法，學會應用，將構造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。他認為定義應當包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應當許可計算到任意的精確度。馬爾科夫的工作使構造性 方法進入了 “算法數學 ”階段 ， 但是， 由于 這種構造法依賴于遞歸函數理論的術語，使 得 這種算法數學外行人讀起來十分困難，加之馬爾科夫的后繼者們似乎對于算法數學實踐本身 沒有 對于復雜理論及其在計算機科學上的應用更有興趣，使之算法數學由于缺乏合適的框架來進行數學實踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。 構造法的前景 構造法伴隨數學成長，解決了數學中很多難以解決的問題，為數學的發(fā)展做出了成就，在以后數學的發(fā)展中，構造法還可以 用于開發(fā)構造性數學的新領域，組合數學、計算機科學中所涉及的數學，都是構造性數學的新領域，尤其是圖論更是構造數學發(fā)展的典型領域之一。 模型 1：在數列 ??na 中，已知 1a ，且數列 ??na 滿足 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d為常數），求通項公式 na 。 解 2： 不妨設 ? ?? ?BnAaBAna nn ?????? ? 12 1 即 ? ? ABBnAAaa nn 2222 1 ?????? ? 又 ? naa nn ?? ?12 ? ??? ??? ?? 022 12 ABB AA ? ?????21BA ? ? ?2122 1 ?????? ? nana nn ? 數列 ? ?2??nan 是以 4 為首項， 2 為公比的等比數列。二級構造在思維上增加了難度，但在對一級構造的理解的基礎上來學習二級構造，也是比較容易理解掌握的。 思想構造：將cadaa n nn ?? ? ?1 1兩邊取其倒數，可得： dadca nn 111 1??? ? 設nn ab1? ，則 dbdcb nn 11 ?? ? （滿足一級構造數列表達式） 第二章 簡易構造 11 由結論 1 得：???????????????????? ???? ? 2,111,111ndcdcdcbnbb nn 從而得出：???????????????????????????? ? 2,111 11,111ndcdcdcanaa nn 例 5：在數列 ??na 中，已知 11?a ，且數列 ??na 滿足32 1 1?? ? ?n nn a aa（ 2?n ），求通項 公式 na 。 模型 7：在數列 ??na 中，已知 1a ，且數列 ??na 滿足1??? nn abaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 例 1： 在數列 ??na 中，已知 21?a ，且數列 ??na 滿足12 211 ??? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項公式 na 。 解：構造新數列 ? ?nn ba ?? ，則有： ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ?? nnnnnn bababa ?????? 7 26726711 令 ??? ??? 7 26 ，解得： 11?? 或 62 ??? 所以 數列 ? ?nn ba ?? 是首項為 11 ba ?? ， ??7 為公比的等比數列 即： ? ?? ? 111 7 ????? nnn baba ??? 當 11?? 時，有： nnn ba 8?? ..................................................? 當 11?? 時，有： 16 ?? nn ba ..................................................? 聯(lián)立 ?、 ?得： ??? ?? ?? 16 8nnnnnba ba 從而解得：