【正文】 科夫及其合作者創(chuàng)立的， 它 以遞歸函數(shù)理論為基礎(chǔ) ，是 一種把數(shù)學的一切概念都歸約算法的構(gòu)造性方法。他認為定義應當包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應當許可計算到任意的精確度。 第一章 緒論 2 第一章 緒論 構(gòu)造法簡介 在數(shù)學的發(fā)展史上，數(shù)學家一直注重思維的縝密性、相關(guān)聯(lián)的邏輯性和對新領(lǐng)域的創(chuàng)造性，從而在發(fā)展過程中不斷形成種種數(shù)學模型，數(shù)學思維，數(shù)學方法以及數(shù)學結(jié)論，數(shù)學模型的構(gòu)建，數(shù)學思維的多樣化不僅是科學發(fā)展的力量，也使我們在解決相關(guān)問題時更加靈活。 學習構(gòu)造法，最主要的是掌握其思想（構(gòu)造思想）方法，學會應用，將構(gòu)造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。內(nèi)容上比較偏重于思想，偏重于方法，偏重于應用，而不是過于追求嚴格的數(shù)學推導。在內(nèi)容上以“模型 —— 構(gòu)造 ——結(jié)論”為主線構(gòu)建，核心是構(gòu)造思想，重點是模型和結(jié)論。本人授權(quán)安順學院可以將本論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本本科生畢業(yè)論文（設計）。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文（設計）不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果。對本文的研究 作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式表明。 作者簽名： 日期： 導師簽名： 日期： 摘 要 I 構(gòu)造法在求數(shù)列通項公式中的應用 專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 學 號： 202102021065 姓名：陳斌 指導教師：劉太河 摘 要 所謂構(gòu)造法，就是將陌生的模型轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ哪Ｐ停桓淖冊}意的 一種方法，其中轉(zhuǎn)變的分析過程就是構(gòu)造思想。 構(gòu)造法在解題中雖然沒有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通過對常見數(shù)列模型的研究，可以給讀者一定思維上的啟發(fā)，同時，本論文所涉及到的模型也可成為解決其他模型的基礎(chǔ)。 在實習期間，我主要授課內(nèi)容是高一數(shù)列部分，通過與同學們的交流，我了解到學生在解決數(shù)列問題上存在的問題；通過與老師的交流，我得出了一些很好的解決方法，并形成了很多很好的結(jié) 論，比如說，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前 n 項和所成的數(shù)列都是一些最特殊、最基本的數(shù)列，它們的通項公式用演繹法套公式解決，大多數(shù)學生都能掌握，而讓學生以及老師困惑的都是其他類型的數(shù)列。遇到問題，首先想到解決該問題需要哪些資源，從哪里可以獲得這些資源；其次要考慮獲得資源后，如何使這些資源得到合理利用，使其產(chǎn)生最大效益。 構(gòu)造法作為解決數(shù)學問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實問題為基礎(chǔ)，針對具體問題所呈現(xiàn)出來的特點而采取相應的解決問題的辦法，應用起來比較靈活，在解決數(shù)學問題，特別是數(shù)列問題上占 有重要地位。另一 個強有力的倡導者是彭加勒，他主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來處理 每個函數(shù) ，每個實數(shù) 代表 一個特定的遞歸函數(shù)等 來嚴格定義每一個概念 。 三是 現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學階段 ，自 1967 年比肖泊的書出版以后，構(gòu)造法進入 “現(xiàn)代 第一章 緒論 3 構(gòu)造數(shù)學 ”階段。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數(shù)學的自我禁錮，避免 了對 直覺派的超數(shù)學原理 的 使用，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進一步創(chuàng)新的余地 。因為圖的定義就是構(gòu)造性的，同時圖的許多應用問題，如計算機網(wǎng)絡，程序的框圖，分式的表達式等，也都是構(gòu)造性很強的問題。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。 分析：不妨設 ? ? ? ?AacAa nn ??? ?1 即 AcAcaa nn ??? ?1 又 ? dcaa nn ?? ?1 ? dAcA ?? 即 1??cdA ? ?????? ????????? ?? ? 11 1 cdaccda nn （驗證： ?????? ????????? ?? ? 11 1 c dacc da nn ? 111 ????? ? c dccdcaa n ? dcaa nn ?? ?1） ?數(shù)列 ?????? ?? 1cdan是以 11 ??cda為首項， c 為公比的等比數(shù)列 第二章 簡易構(gòu)造 5 ? 11 11 ??????? ????? nn ccdacda 從而得出：????? ????????????? ? 2,111,111nc dcc danaa nn ※ 結(jié)論 1（重點結(jié)論） : 一級構(gòu)造的數(shù)列表達式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的通項公式為： 11 11 ???????? ??? ? cdccdaa nn（ 2?n ）。 模型 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? 1242 ????? nn na 從而得出： 22 1 ??? ? na nn 當 1?n 時， 121221 ????a ，滿足 22 1 ??? ? na nn 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 22 1 ??? ? na nn 模型 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來 分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應用。 思想構(gòu)造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡易構(gòu)造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項 公式 na 。 解：將32 1 1?? ? ?n nn a aa兩邊取其倒數(shù)，可得： 211231 1??? ?nn aa 設nn ab1? ，則 2123 1 ?? ?nn bb （滿足 一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得： 12321 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出：21223 2?????nnnna ? ?2?n 當 1?n 時， 1212111 ??a，滿足21223 2?????nnnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為21223 2?????nnnna 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式 3 (取對構(gòu)造 ) 一般的，形如 a nn aba 1?? （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?b ）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。 分析： 構(gòu)造假設： ? ?caa caca nnn ???? ?? 11 則： ? ?1?????? nn a caccaca 又由題意： 1??? nn abaa 相比較得： ? ?cacb ?? 從而解得： 2 42 baac ??? 于是有： ? ?? ?cacaca ccaca aca nnnn ?????????? ??? 111 111（取倒） 設cab nn ?? 1，則cabca cb nn ???? ? 11（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得：?????????????? ??????? ??? ? 2,21211,111nacca cacbnbb nn 從而得出：???????????????????????? ??? ? 2,212111,111ncaccacacbnaa nn 例 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 21?a ，且數(shù)列 ??na 滿足112??? nn aa（ 2?n ），求通項公式 na 。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? nba aba an n ? ?2?n 于是得出：?????????????????????????????????2,12221,112112111nbaabaabnaannn 例 8：在數(shù)列 ??na 中，已知 31?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ? ?12 121?? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項公式 na 。 解：由特征方程： 12 2??? xxx 化解得： 022 2 ??x 解得： 11?x ， 12 ??x 令： 111111 ??????? nnnn aacaa 由 21?a ，得 542?a ，進而得： 31??c 所以數(shù)列?????? ??11nnaa 是以首項為 311111 ???aa ，公比為 31? 的等比數(shù)列 故： 1313111????????????nnnaa 第三章 復合構(gòu)造