【正文】 科夫及其合作者創(chuàng)立的， 它 以遞歸函數(shù)理論為基礎(chǔ) ，是 一種把數(shù)學(xué)的一切概念都歸約算法的構(gòu)造性方法。他認為定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應(yīng)當(dāng)許可計算到任意的精確度。 第一章 緒論 2 第一章 緒論 構(gòu)造法簡介 在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家一直注重思維的縝密性、相關(guān)聯(lián)的邏輯性和對新領(lǐng)域的創(chuàng)造性，從而在發(fā)展過程中不斷形成種種數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)結(jié)論，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，數(shù)學(xué)思維的多樣化不僅是科學(xué)發(fā)展的力量，也使我們在解決相關(guān)問題時更加靈活。 學(xué)習(xí)構(gòu)造法，最主要的是掌握其思想（構(gòu)造思想）方法，學(xué)會應(yīng)用，將構(gòu)造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。內(nèi)容上比較偏重于思想，偏重于方法，偏重于應(yīng)用，而不是過于追求嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。在內(nèi)容上以“模型 —— 構(gòu)造 ——結(jié)論”為主線構(gòu)建，核心是構(gòu)造思想，重點是模型和結(jié)論。本人授權(quán)安順學(xué)院可以將本論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計）不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果。對本文的研究 作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式表明。 作者簽名： 日期： 導(dǎo)師簽名： 日期： 摘 要 I 構(gòu)造法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 202102021065 姓名：陳斌 指導(dǎo)教師：劉太河 摘 要 所謂構(gòu)造法，就是將陌生的模型轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ哪Ｐ?，而不改變原題意的 一種方法，其中轉(zhuǎn)變的分析過程就是構(gòu)造思想。 構(gòu)造法在解題中雖然沒有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通過對常見數(shù)列模型的研究，可以給讀者一定思維上的啟發(fā)，同時，本論文所涉及到的模型也可成為解決其他模型的基礎(chǔ)。 在實習(xí)期間，我主要授課內(nèi)容是高一數(shù)列部分，通過與同學(xué)們的交流，我了解到學(xué)生在解決數(shù)列問題上存在的問題；通過與老師的交流，我得出了一些很好的解決方法，并形成了很多很好的結(jié) 論，比如說，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前 n 項和所成的數(shù)列都是一些最特殊、最基本的數(shù)列，它們的通項公式用演繹法套公式解決，大多數(shù)學(xué)生都能掌握，而讓學(xué)生以及老師困惑的都是其他類型的數(shù)列。遇到問題，首先想到解決該問題需要哪些資源，從哪里可以獲得這些資源；其次要考慮獲得資源后，如何使這些資源得到合理利用，使其產(chǎn)生最大效益。 構(gòu)造法作為解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方法，它沒有固定的思維方式，是以廣泛的普遍性和特殊性的現(xiàn)實問題為基礎(chǔ)，針對具體問題所呈現(xiàn)出來的特點而采取相應(yīng)的解決問題的辦法，應(yīng)用起來比較靈活，在解決數(shù)學(xué)問題，特別是數(shù)列問題上占 有重要地位。另一 個強有力的倡導(dǎo)者是彭加勒，他主張所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的。 馬爾科夫 用哥德爾數(shù)的辦法來處理 每個函數(shù) ，每個實數(shù) 代表 一個特定的遞歸函數(shù)等 來嚴格定義每一個概念 。 三是 現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段 ，自 1967 年比肖泊的書出版以后，構(gòu)造法進入 “現(xiàn)代 第一章 緒論 3 構(gòu)造數(shù)學(xué) ”階段。比肖泊擺脫了理論方法的不必要的依賴 ，跨越了 直覺數(shù)學(xué)的自我禁錮，避免 了對 直覺派的超數(shù)學(xué)原理 的 使用，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進一步創(chuàng)新的余地 。因為圖的定義就是構(gòu)造性的，同時圖的許多應(yīng)用問題，如計算機網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達式等，也都是構(gòu)造性很強的問題。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。 分析：不妨設(shè) ? ? ? ?AacAa nn ??? ?1 即 AcAcaa nn ??? ?1 又 ? dcaa nn ?? ?1 ? dAcA ?? 即 1??cdA ? ?????? ????????? ?? ? 11 1 cdaccda nn （驗證： ?????? ????????? ?? ? 11 1 c dacc da nn ? 111 ????? ? c dccdcaa n ? dcaa nn ?? ?1） ?數(shù)列 ?????? ?? 1cdan是以 11 ??cda為首項， c 為公比的等比數(shù)列 第二章 簡易構(gòu)造 5 ? 11 11 ??????? ????? nn ccdacda 從而得出：????? ????????????? ? 2,111,111nc dcc danaa nn ※ 結(jié)論 1（重點結(jié)論） : 一級構(gòu)造的數(shù)列表達式 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的通項公式為： 11 11 ???????? ??? ? cdccdaa nn（ 2?n ）。 模型 2：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? 1242 ????? nn na 從而得出： 22 1 ??? ? na nn 當(dāng) 1?n 時， 121221 ????a ，滿足 22 1 ??? ? na nn 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 22 1 ??? ? na nn 模型 3：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 ? 11 422 ?? ??? nnna 從而可得： 112 22 ?? ?? nnna 當(dāng) 1?n 時， 1121 ???a ，滿足 112 22 ?? ?? nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 112 22 ?? ?? nnna 通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達式 11 ?? ?? nnn dcaa 第二章 簡易構(gòu)造 9 （ 2?n ）兩邊同時除以 nd ，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達式 （ 11 ?? ?? nnn dcaa ?? ?? ? nd ddadcda nnnn 111 ??? ?? ????? ?? ????? dBdcAdab nn 1 BAbb nn ?? ?1 ），在引用重要結(jié)論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來 分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用。 思想構(gòu)造：將 11 ?? ?? nnn qpaa 兩邊同時除以 nq ，可得： qqaqpqa nnnn 111 ??? ?? 設(shè)nnn qab?，則qbqpb nn 11 ?? ?（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得：???????????????????????? ???? ? 2,111,111nqpqpqpbnbb nn 第二章 簡易構(gòu)造 10 從而得出：????? ??????????????? ? 2,1,111nqp qpqp qanaa nnn 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 23 ?? ?? nnn aa （ 2?n ），求通項 公式 na 。 解：將32 1 1?? ? ?n nn a aa兩邊取其倒數(shù)，可得： 211231 1??? ?nn aa 設(shè)nn ab1? ，則 2123 1 ?? ?nn bb （滿足 一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得： 12321 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出：21223 2?????nnnna ? ?2?n 當(dāng) 1?n 時， 1212111 ??a，滿足21223 2?????nnnna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為21223 2?????nnnna 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式 3 (取對構(gòu)造 ) 一般的，形如 a nn aba 1?? （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?b ）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)得更加 完美。 分析： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?caa caca nnn ???? ?? 11 則： ? ?1?????? nn a caccaca 又由題意： 1??? nn abaa 相比較得： ? ?cacb ?? 從而解得： 2 42 baac ??? 于是有： ? ?? ?cacaca ccaca aca nnnn ?????????? ??? 111 111（取倒） 設(shè)cab nn ?? 1，則cabca cb nn ???? ? 11（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論 1 得：?????????????? ??????? ??? ? 2,21211,111nacca cacbnbb nn 從而得出：???????????????????????? ??? ? 2,212111,111ncaccacacbnaa nn 例 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 21?a ，且數(shù)列 ??na 滿足112??? nn aa（ 2?n ），求通項公式 na 。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? nba aba an n ? ?2?n 于是得出：?????????????????????????????????2,12221,112112111nbaabaabnaannn 例 8：在數(shù)列 ??na 中，已知 31?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ? ?12 121?? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項公式 na 。 解：由特征方程： 12 2??? xxx 化解得： 022 2 ??x 解得： 11?x ， 12 ??x 令： 111111 ??????? nnnn aacaa 由 21?a ，得 542?a ，進而得： 31??c 所以數(shù)列?????? ??11nnaa 是以首項為 311111 ???aa ，公比為 31? 的等比數(shù)列 故： 1313111????????????nnnaa 第三章 復(fù)合構(gòu)造