數(shù)列通項公式常見求法(編輯修改稿)
2025-07-23 05:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 即例1（北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考）在數(shù)列{}中，并且對任意都有成立，令． （Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式 ； 解：（1）當(dāng)n=1時，,當(dāng)時，由 ，等式兩邊取倒數(shù)得：所以所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為（3）、對數(shù)法當(dāng)數(shù)列和an1的遞推關(guān)系涉及到高次時，形如：anp = man1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對數(shù)法，等式兩邊分別取對數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例1（2006山東）已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；解：（1）由已知， ，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.例1若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解 由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.（4）、特征方程法①、一般地對于形如已知an+2=A an+1 +B an (A、B是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來求通項。 法一：可用特征方程的方法求解：我們稱方程：x2AxB=0為數(shù)列的特征方程（i）當(dāng)方程有兩個相異的實根（或虛根）p、q時，有：，其中c1與c2由已知確定。（ii）當(dāng)方程有唯一的實根p時，有，其中c1與c2由已知確定。法二：可構(gòu)造成，則{}為等比數(shù)列，進(jìn)而求通項公式，這種方法過程較為繁雜。例1已知 a 1 =2， a 2 =3，求通項公式。 解法一：特征方程的根為1，所以an = (c1 n+c2)1n由：得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。 解法二：設(shè)，可得x 1 = x 2 = 1，于是{an+1－an }是公比為1的等比數(shù)列，an+1－an = 1，所以an = n + 1。例16．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項。解：其特征方程為，解得，令，由，得， ．例1（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等
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