數(shù)列通項公式的應(yīng)用論(編輯修改稿)
2025-02-02 06:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 對于較復(fù)雜的數(shù)列遞推式，用其他方法難以解決的，可以用不動點法推導(dǎo)數(shù)列的通項。如 一階遞推式 qpaa nn ???1 。分式遞推式 ：hra qpaa nnn ????1（ 其中 p、 q、 r、h均為常數(shù)，且 rharqrph ????1,0,）， 都可建立不動點方程 . 類型一： 一階線性遞推式 qpaa nn ???1 ( 0,1p ?? pq )（ 對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程 qxx ??p ，解出方程的解pqx ??1,在原遞推式兩邊同時減去pqx ??1，得到 )1(11 pqappqa nn ??????，構(gòu)造出一個公比為 p的等比數(shù)列，由此推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式 . 類型二： 分式遞推式da qpaa nnn ???? c1， 數(shù)列 ??na 的特征方程為 ? ? dcx qpxxf ??? ，由 x???dcx qpx ，解出不動點設(shè)為 m , n 1. 若 不 動 點 m = n ， 原 遞 推 式 兩 邊 同 時 減 去 m ，化解后得dp cmama nn ?????? 2111,推出一個新等差數(shù)列 {man?1}，公差為dpc?2.由此推導(dǎo)出 na . n?m ,遞推式兩邊分別同時減去 m,n,再用兩式相除得：na makna ma nnnn ???????11，其中ncp mcp ???k，推出一個新等比數(shù)列 {na mann??}，公比為ncp mcp ???k. 其他構(gòu)造方法 一種類型的題可以有不同的解法，在構(gòu)造新數(shù)列的過程中，最重要的是轉(zhuǎn)化思想，上述的針對遞推式的待定系數(shù)法，不動點法在高中數(shù)學(xué)中相對比較容易理解，下面介紹幾種不常用的構(gòu)造新數(shù)列的方法 . 特征根法 類型一 ：一階遞推式 qpaa nn ???1 ， 針對問遞推關(guān)系式作出一個方程,qpxx ?? 稱之為特征方程 ，特征根為 1x . 若 ,11 xa? 則 。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 1xba nn ?? ， 其中 }{nb 是以 p 為公比的等比數(shù)列，即11111 , xabpbb nn ??? ? . 類型一 對于由 二階 遞推式 nnn qapaa ?? ?? 12 ，給出的數(shù)列 ??na ，方程02 ??? qpxx ，叫做數(shù)列 ??na 的特征方程 . （ 1） 當(dāng) 方程有兩相同的特征根 1x ， 數(shù)列 ??na 的通項為 11)( ??? nn xBAa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ,即 把 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項 . （ 2） 當(dāng)特征方程有兩個相異的特征根 21,xx 時， 數(shù)列 ??na 的通項為1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ， 即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項 . 類型二，對于分式遞推式da qpaa nnn ???? c1，可作特征根方程 dx qpxx ??? c ， （ 1） 當(dāng)特征方程有兩相同的特征根 1x 時 ， 若 ,11 xa? 則 。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 ,N,11 ???? nxba nn其中 .N,)1(1111??????? ncxp xab n （ 2）當(dāng)特征方程有兩個相異的特征根 21,xx 時，則1 21 ??? nnn c xcxa， ,N??n 其中 ?? ?????? N,)( 12121 11 ncxp cxpxa xac nn. 特征根法主要針對這 三 類型 的遞推式 ，有固定的公式，相比迭代法，待定系數(shù)法，無技巧可言 .但計算簡單， 所以，當(dāng)遇到此類型的題若要用此方法 時 ，最好 正確的 記住 每種類型的 公式 ,然后再進(jìn)行解題 . 換元法 高中函數(shù)一章節(jié)中我們經(jīng)常用換元法來解決當(dāng)函數(shù)式中有根號的情況，數(shù)列是特殊的函數(shù)，用換元法解題省去了繁長的計算 倒數(shù)法： 數(shù)列 中 有形如 ? ? 0,f 11 ??? nnnn aaaa 的關(guān)系， 如 nnnn aaaa ?? ?? 11 可在等式兩邊同乘以nn aa11?，構(gòu)造一個新等差數(shù)列， 求出 .,1nn aa 再求得 例 1：（ 2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷）已知等差數(shù)列 前三項的和為 3，前三項的積為 8，求等差數(shù)列 { na }的通項公式。 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d，則 daa ?? 12 ,2, 13 daa ?? 由題意得 333a1 ??? d 8)2)(( 111 ??? dadaa 解得 21?a 或 3??d 41 ??a 3?d 所以，由等差數(shù)列通項公式可得 53a ??? nn 或 73an ?? n 此題解題方法為公式法的類型一 .由題意可知，該數(shù)列為等差數(shù)列，所以可以直
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1