數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-wenkub
2023-01-21 06:52:11 本頁面
【正文】 是找出 na 與 n的關(guān)系。 緒論 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中相對獨(dú)立，但有一定的綜合性和靈活性 .高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識主要涉及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和等內(nèi)容，能力要求較高 .數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見的題型之一 ,它既可考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 ,又能反映 中學(xué)生 對等差與等比數(shù)列理解的深度 ,具有一定的技巧性 ,因此經(jīng)常滲透在 數(shù)學(xué) 競賽和高考中 .同時 也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點(diǎn)。在本文中討論的方法也是函數(shù)中常用的技巧 . 在各類研究數(shù)列通項(xiàng)公式的資料中，推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法一般有：公式法，待定系數(shù)法，不動點(diǎn)法，累加法，累乘法，歸納猜想法 ，構(gòu)造等差或等比數(shù)列法等 .本文從實(shí)際出發(fā)， 首先介紹在數(shù)列知識體系中的一些相關(guān)概念及公式，然后 把上述方法比較系統(tǒng)的歸納為四大類：公式法、歸納猜想法、迭代法、構(gòu)造新數(shù)列法 .解題思路 由簡單到復(fù)雜，難度一步步上升 .不僅如此，內(nèi)容安排上把方法和應(yīng)用相結(jié)合，讓讀者更好的理解和掌握。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項(xiàng)。 如果等比數(shù)列的首項(xiàng)為 1a ，公比為 q ，那么這個數(shù)列可以寫成 ?? , 112111 ?nqaqaqaa 的形式，所以，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 11 ?? nn qaa 遞推數(shù)列：根據(jù)等差數(shù)列的概念，形成等差數(shù)列的條件可以看作任一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù)，即 daa nn ???1 ，像這樣表示若干個相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系式叫做數(shù)列的遞推式 .一個數(shù)列的第 n 項(xiàng) na 與前面的 k 項(xiàng) knnn aaa ??? , 21 ? 的關(guān)系),( 21 knnnn aaafa ???? ?稱為 k 階遞推關(guān)系，由 k 階關(guān)系及給定的前 k 項(xiàng)kaaa , 21 ? 的值所確定的數(shù)列叫做 k 階遞推數(shù)列 . 在高中數(shù)學(xué)中，很多關(guān)于數(shù)列的題的題干都是以遞推式的形式給出，如nnnn aaaa ?? ?? 11 、 3 121 ??? nn aa 、 qpaa nn ???1 等 .這樣就加大了推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)公式的難度。解決此類型的題，快速準(zhǔn)確是關(guān)鍵，所以，用猜想歸納的思想能有效的解決問題。 累乘法 累乘法的思想與累加法本質(zhì)上是一樣的， 在數(shù)列中如果遇到 nn anfa )(1 ?? 這種類型，通常先把等式化為 )(1 nfaa nn ??，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，再層層代入等式中得 ??112 faa ? ? ?223 faa ? ? ? ?11 ??? nfaann ? ?nfaa nn ??1 令各項(xiàng)累乘 得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?211 1 ?? ， 化簡得 ? ? ? ? ? ? 11 21 anfffa n ??? . 所以 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ?? ， 由此可求出數(shù)列通項(xiàng) . 構(gòu)造新數(shù)列法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù) 學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”。主要方法有待定系數(shù)法， 不動點(diǎn)法， 特征根法等。如 一階遞推式 qpaa nn ???1 。 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d，則 daa ?? 12 ,2, 13 daa ?? 由題意得 333a1 ??? d 8)2)(( 111 ??? dadaa 解得 21?a 或 3??d 41 ??a 3?d 所以，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 53a ??? nn 或 73an ?? n 此題解題方法為公式法的類型一 .由題意可知，該數(shù)列為等差數(shù)列，所以可以直接套用等差數(shù)列的公式來求通項(xiàng)， 例 2：已知數(shù)列 { na }的前 n項(xiàng)和 1s 2 ??nn ，求 na . 解 :當(dāng) n=1時 01111 ???? sa 當(dāng) 2?n 時 12]1)1[()1( 221 ????????? ? nnnssa nnn , 由于 1a 不適合于此等式 ，所以 ??? ?? ?? )2(12 )1(0 nn na n 此
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