數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-wenkub.com
2025-01-03 06:52 本頁(yè)面
【正文】 當(dāng)然，數(shù)列的題型千姿百態(tài)，有些上述的方法不一定都適用，所以在解題思想方法上要懂得隨機(jī)應(yīng)變，找到合適的解決途徑。 解題思路： 5 231nnn aa ???中可以看成是 52531nnn aa ???，很顯然是一階遞推式 )(1 nfpaa nn ??? 的類型，推導(dǎo)這種類型的通項(xiàng)公式，可以用待定系數(shù)法 . 解：由題意得 52531nnn aa ???. 假設(shè)存在 A,使得 )2(532 11 nnnn AaAa ????? ?? (1) 化解有 nnn Aaa 2)57531 ????? （, 即 nA 257 ?? =52n , 所以 71??A (2) 把（ 2）代入（ 1）得 )271(53271 11 nnnn aa ????? ??， 所以，數(shù)列 { nna 271??}是以 721?a為首項(xiàng)， 53 為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列通項(xiàng)公式為 nna 271??=（ 721?a） 153???????n ， 又因?yàn)?741?a，所以 7253721 nnna ????????? . 此題中因?yàn)?)(1 nfpaa nn ??? 中的 )(nf 為指數(shù)型函數(shù)，所以待定系數(shù)法最為合適，若 )(nf 為常數(shù)函數(shù)， 如 5 231 ??? nn aa， 則此題可以用待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、以及特征根法解決，其中以待定系數(shù)法最為方便簡(jiǎn)單 . 例 8已知數(shù)列 ??na 中， 21?a ，7241 ???? nnn aaa，求 ??na 的通項(xiàng)。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 ,N,11 ???? nxba nn其中 .N,)1(1111??????? ncxp xab n （ 2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的特征根 21,xx 時(shí)，則1 21 ??? nnn c xcxa， ,N??n 其中 ?? ?????? N,)( 12121 11 ncxp cxpxa xac nn. 特征根法主要針對(duì)這 三 類型 的遞推式 ，有固定的公式，相比迭代法，待定系數(shù)法，無技巧可言 .但計(jì)算簡(jiǎn)單， 所以，當(dāng)遇到此類型的題若要用此方法 時(shí) ，最好 正確的 記住 每種類型的 公式 ,然后再進(jìn)行解題 . 換元法 高中函數(shù)一章節(jié)中我們經(jīng)常用換元法來解決當(dāng)函數(shù)式中有根號(hào)的情況，數(shù)列是特殊的函數(shù)，用換元法解題省去了繁長(zhǎng)的計(jì)算 倒數(shù)法： 數(shù)列 中 有形如 ? ? 0,f 11 ??? nnnn aaaa 的關(guān)系， 如 nnnn aaaa ?? ?? 11 可在等式兩邊同乘以nn aa11?，構(gòu)造一個(gè)新等差數(shù)列， 求出 .,1nn aa 再求得 例 1：（ 2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷）已知等差數(shù)列 前三項(xiàng)的和為 3，前三項(xiàng)的積為 8，求等差數(shù)列 { na }的通項(xiàng)公式。通過求新等比數(shù)列的通項(xiàng)公式從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式， 其實(shí)類型一與類型二可歸結(jié)為 )(1 nfpaa nn ??? ， )(nf 可以為常函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等，其基本解題思路是在遞推式兩邊加上相同性質(zhì)的量， 使之成為等差或等比數(shù) 列 . 不動(dòng)點(diǎn)法 方程 )(xf =x稱為函數(shù) )(xf 的不動(dòng)點(diǎn)方程，其根稱為函數(shù) )(xf 的不動(dòng)點(diǎn) .對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)列遞推式，用其他方法難以解決的，可以用不動(dòng)點(diǎn)法推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)。構(gòu)造新 的 數(shù)列，具有輔助計(jì)算的效果，一般是構(gòu)造等差，等比數(shù)列，這樣就可以套用等差等比數(shù)列的固定通項(xiàng)模型來解決問題。最常見的方法是累加，累乘法 . 累加法 累加法，一般適用于遞推數(shù)列 )(1 nfaa nn ??? 的類型，遇到此類型 的題，一般題干中會(huì)告訴 1a 的值，解題思路為：首先把等式化為 )(1 nfaa nn ?? ， 再把當(dāng) n=1,2,3,4?分別代入上述等式中得 )3()2()1(342312faafaafaa?????? ? ? ?nfaa nfaa nn nn ?? ???? ?1 1 )1( 第一式與第二式相加左邊消去了 2a ,再與第三式相加消去了 3a ,依次累加后得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?????? ?2111 ， 所以 ? ? ? ? ? ?1211 ?????? nfffaa n ?， 變式得 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ????? ? 注： ? ? ? ? ? ?nfff ??? ?21 的結(jié)果必然是關(guān)于 n關(guān)系式 .在求和過程中可能會(huì)涉及到等差、等比數(shù)列的求和方法。這類題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ,通常用 q 來表示。 1 數(shù)列的相關(guān)概念 . 數(shù) 列 數(shù)列： 按 某種規(guī)定 排列的一列數(shù) , 21 ?? naaa 稱為數(shù)列。所以， 推導(dǎo) 數(shù)列的通項(xiàng)公式 關(guān)鍵
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