數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-文庫吧
2024-12-22 06:52 本頁面
【正文】 化為 )(1 nfaa nn ?? ， 再把當(dāng) n=1,2,3,4?分別代入上述等式中得 )3()2()1(342312faafaafaa?????? ? ? ?nfaa nfaa nn nn ?? ???? ?1 1 )1( 第一式與第二式相加左邊消去了 2a ,再與第三式相加消去了 3a ,依次累加后得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?????? ?2111 ， 所以 ? ? ? ? ? ?1211 ?????? nfffaa n ?， 變式得 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ????? ? 注： ? ? ? ? ? ?nfff ??? ?21 的結(jié)果必然是關(guān)于 n關(guān)系式 .在求和過程中可能會(huì)涉及到等差、等比數(shù)列的求和方法。 累乘法 累乘法的思想與累加法本質(zhì)上是一樣的， 在數(shù)列中如果遇到 nn anfa )(1 ?? 這種類型，通常先把等式化為 )(1 nfaa nn ??，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，再層層代入等式中得 ??112 faa ? ? ?223 faa ? ? ? ?11 ??? nfaann ? ?nfaa nn ??1 令各項(xiàng)累乘 得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?211 1 ?? ， 化簡得 ? ? ? ? ? ? 11 21 anfffa n ??? . 所以 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ?? ， 由此可求出數(shù)列通項(xiàng) . 構(gòu)造新數(shù)列法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù) 學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”。 在數(shù)列求通項(xiàng)的有關(guān)問題中，經(jīng)常遇到即非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的求通項(xiàng)問題，特別是給出的數(shù)列相鄰兩項(xiàng)是線性關(guān)系， 數(shù)列遞推式較復(fù)雜 的題型 。如果題型簡單，我們 可以通過不完全歸納法進(jìn)行歸納、猜想，然后借助于數(shù)學(xué)歸納法予以證明， 然而用數(shù)學(xué)歸納法證明雖然有固定的模式，但過程繁瑣，用時(shí)較多，而且在 新 版 教材中，數(shù)學(xué)歸納法 的思想很少提到 ，因而我們遇到這類問題，就要避免用數(shù)學(xué) 歸納法 的思想 。構(gòu)造新 的 數(shù)列，具有輔助計(jì)算的效果，一般是構(gòu)造等差，等比數(shù)列，這樣就可以套用等差等比數(shù)列的固定通項(xiàng)模型來解決問題。主要方法有待定系數(shù)法， 不動(dòng)點(diǎn)法， 特征根法等。 待定系數(shù)法 待定系數(shù)法主要適用于 一階遞推式 qpaa nn ???1 ； （其中 p， q 均為常數(shù)，0,1p ?? pq ） 、 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ）等 . 類型一： qpaa nn ???1 （其中 p， q均為常數(shù)， 0,1p ?? pq ） 假設(shè) 原遞推公式為 )(1 tapta nn ???? ， 其中pqt ??1， 計(jì)算出 t后，就構(gòu)造成了一個(gè)以 t?1a 為首項(xiàng)，以 p為公比的等比數(shù)列 { tan? }，從而推導(dǎo)出 tan? 的通項(xiàng)公式。 類型二 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ) 此類型為類型一的變式，既然類型一能化成等比數(shù)列，那么假設(shè)類型二也能構(gòu)造成等比數(shù)列，假設(shè) 原遞推公式為 )()1(1 BAnapBnAa nn ??????? ， 化簡得 BApBnApApaa nn ??????? )(1 ， 又因?yàn)? cqnpaa nn ????1 所以，系數(shù)對應(yīng)相等得 qApA ?? cBApB ??? 解方程組得 1??pqA ? ?211 ???? p qp cB 由此計(jì)算出 AB 后就構(gòu)造了一個(gè)以 BAa ??1 為首項(xiàng)， p 為公比的等比數(shù)列? ?BAnan ?? . 用待定系數(shù)法求解通項(xiàng)公式， 它的核心是通過“待定”將遞推公式轉(zhuǎn)化為一種新的等比數(shù)列。通過求新等比數(shù)列的通項(xiàng)公式從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式， 其實(shí)類型一與類型二可歸結(jié)為 )(1 nfpaa nn ??? ， )(nf 可以為常函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等，其基本解題思路是在遞推式兩邊加上相同性質(zhì)的量， 使之成為等差或等比數(shù) 列 . 不動(dòng)點(diǎn)法 方程 )(xf =x稱為函數(shù) )(xf 的不動(dòng)點(diǎn)方程，其根稱為函數(shù) )(xf 的不動(dòng)點(diǎn) .
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