數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論(已修改)
2025-01-18 06:52 本頁(yè)面
【正文】 緒論 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中相對(duì)獨(dú)立，但有一定的綜合性和靈活性 .高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)主要涉及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和等內(nèi)容，能力要求較高 .數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的題型之一 ,它既可考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 ,又能反映 中學(xué)生 對(duì)等差與等比數(shù)列理解的深度 ,具有一定的技巧性 ,因此經(jīng)常滲透在 數(shù)學(xué) 競(jìng)賽和高考中 .同時(shí) 也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)。 一扇門，打開它的關(guān)鍵就是門上的鎖和鑰匙，而數(shù)列問(wèn)題就像緊閉的門，數(shù)列的通項(xiàng)公式與它的推導(dǎo)思路就是開門的關(guān)鍵。數(shù) 列可以看作是特殊的函數(shù)，特殊在可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)當(dāng)自變量依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列的函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式即這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式。所以， 推導(dǎo) 數(shù)列的通項(xiàng)公式 關(guān)鍵是找出 na 與 n的關(guān)系。在本文中討論的方法也是函數(shù)中常用的技巧 . 在各類研究數(shù)列通項(xiàng)公式的資料中，推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法一般有：公式法，待定系數(shù)法，不動(dòng)點(diǎn)法，累加法，累乘法，歸納猜想法 ，構(gòu)造等差或等比數(shù)列法等 .本文從實(shí)際出發(fā)， 首先介紹在數(shù)列知識(shí)體系中的一些相關(guān)概念及公式，然后 把上述方法比較系統(tǒng)的歸納為四大類：公式法、歸納猜想法、迭代法、構(gòu)造新數(shù)列法 .解題思路 由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，難度一步步上升 .不僅如此，內(nèi)容安排上把方法和應(yīng)用相結(jié)合，讓讀者更好的理解和掌握。 在應(yīng)用舉例中，有些一種類型的題可以用不同的方法解決，這種形式有利于開發(fā)中學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)從多方面綜合考慮，以找出最簡(jiǎn)便的解法。怎樣找準(zhǔn)方法快速有效地推導(dǎo)呢？這就是本文所討論的問(wèn)題。 1 數(shù)列的相關(guān)概念 . 數(shù) 列 數(shù)列： 按 某種規(guī)定 排列的一列數(shù) ,, 21 ?? naaa 稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第 n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng) ，也叫數(shù)列的通 項(xiàng) na . 數(shù) 列的通項(xiàng)公式： 將數(shù)列 { na }的第 n 項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含有 參數(shù) n）表示出來(lái)，稱作該數(shù)列 的通項(xiàng)公式 。 通項(xiàng) na 可以看作是項(xiàng)數(shù) n的函數(shù) )(nfan ? .當(dāng)然，不是所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式，如 ： 一個(gè)學(xué)校的學(xué)生的考試成績(jī)由高到矮組成的數(shù)列，就 很難寫出其通項(xiàng)公式 . 基本數(shù)列的通項(xiàng)公式 高中學(xué)習(xí)的數(shù)列有兩種最基本的數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列 等差數(shù)列：一 般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) 的差等于同一個(gè) 常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 .這個(gè)常數(shù) 叫做等差數(shù)列的 公差 ，公差通常用字母 d表示 . 如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為 1a ，公差為 d ，那么這個(gè)數(shù)列可以寫成 ?? ,)1(,2, 1111 dnadadaa ???? 的形式，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 dnaan )1(1 ??? 等比數(shù)列： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ,通常用 q 來(lái)表示。 如果等比數(shù)列的首項(xiàng)為 1a ，公比為 q ，那么這個(gè)數(shù)列可以寫成 ?? ,, 112111 ?nqaqaqaa 的形式，所以，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 11 ?? nn qaa 遞推數(shù)列：根據(jù)等差數(shù)列的概念，形成等差數(shù)列的條件可以看作任一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù)，即 daa nn ???1 ，像這樣表示若干個(gè)相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系式叫做數(shù)列的遞推式 .一個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng) na 與前面的 k 項(xiàng) knnn aaa ??? , 21 ? 的關(guān)系),( 21 knnnn aaafa ???? ?稱為 k 階遞推關(guān)系，由 k 階關(guān)系及給定的前 k 項(xiàng)kaaa , 21 ? 的值所確定的數(shù)列叫做 k 階遞推數(shù)列 . 在高中數(shù)學(xué)中，很多關(guān)于數(shù)列的題的題干都是以遞推式的形式給出，如nnnn aaaa ?? ?? 11 、 3 121 ??? nn aa 、 qpaa nn ???1 等 .這樣就加大了推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)公式的難度。 2 數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種推導(dǎo)方法 公式法 類 型一 若題型中已知數(shù)列 { na }為等差或等比數(shù)列，則可直接利用公式求na . 類型二 若已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ns 與 n 的關(guān)系式 )(nfsn ? ,則利用公式 ??? ?? ??? 211 nSSnSannnn ? ???? 求出數(shù)列的通項(xiàng) . 這兩類型是數(shù)列問(wèn)題中最直接，最簡(jiǎn)單的解法。 歸納猜想法 在數(shù)列的有關(guān)題型中，有些明確給出了一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，如 1，8,27,64,125，? 要求求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)。這類題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。解決此類型的題，快速準(zhǔn)確是關(guān)鍵，所以，用猜想歸納的思想能有效的解決問(wèn)題。 首先， 運(yùn)用觀察法，從 數(shù)列的前幾項(xiàng) 中找出規(guī)律性的結(jié)論，歸納猜想得出 na或其相關(guān)項(xiàng)，然后 把前幾項(xiàng)代入 結(jié)論 中檢驗(yàn)其是否正確 。 從上述的數(shù)列中可以觀察出， 該數(shù)列為典型的立方數(shù)列，規(guī)律為： 31 ， 32 ，3 ， 34 ， 35 ?，所以我們可以猜想出其通項(xiàng)公式為 3nan? . 當(dāng)然，選擇題和填空題并不要求寫出其解答過(guò)程，歸納猜想出來(lái)的通項(xiàng)公式只是一個(gè)合理猜想，如若遇到解答題，我們猜想出來(lái)的公式就還需要用數(shù)學(xué)歸納法的思想去檢驗(yàn) . 迭代法 所謂迭代法，就是層層代入，用舊的變量遞推新變量的過(guò)程，用迭代法解決數(shù)列問(wèn)題關(guān)鍵是尋找各等式之間的聯(lián)系，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。最常見(jiàn)的方法是累加，累乘法 . 累加法 累加法，一般適用于遞推數(shù)列 )(1 nfaa nn ??? 的類型，遇到此類型 的題，一般題干中會(huì)告訴 1a 的值，解題思路為：首先把等式
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