數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-文庫吧資料
2025-01-12 06:52本頁面
【正文】 累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式 .然后再求 193a . 解： 由題意可知，因?yàn)? nn anna 12 11 ???? ， 所以 12 11 ???? nnaa nn. 分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ,有 3212 ?aa 5323 ?aa ? 121 ??? nnaann. 各項(xiàng)等式相乘，有 12 21 ?? naan, 又因?yàn)?21?a ，代入上式得 12 4?? nan ， 所以 3854193?a . 例 4 與例 5 是典型 的數(shù)列類求通項(xiàng)的題，當(dāng)遇到 )(1 nfaa nn ??? 與nn anfa )(1 ?? 類型時(shí)，用迭代的思想解決快速又簡單 . 例 { na }中， 741?a， 5 231nnn aa ???，求 { na }的通項(xiàng)。 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d，則 daa ?? 12 ,2, 13 daa ?? 由題意得 333a1 ??? d 8)2)(( 111 ??? dadaa 解得 21?a 或 3??d 41 ??a 3?d 所以，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 53a ??? nn 或 73an ?? n 此題解題方法為公式法的類型一 .由題意可知，該數(shù)列為等差數(shù)列，所以可以直接套用等差數(shù)列的公式來求通項(xiàng)， 例 2：已知數(shù)列 { na }的前 n項(xiàng)和 1s 2 ??nn ，求 na . 解 :當(dāng) n=1時(shí) 01111 ???? sa 當(dāng) 2?n 時(shí) 12]1)1[()1( 221 ????????? ? nnnssa nnn , 由于 1a 不適合于此等式 ，所以 ??? ?? ?? )2(12 )1(0 nn na n 此題解題方法是公式法的類型二，但需要注意的是求出的首項(xiàng)要代入通項(xiàng)中檢驗(yàn)是否也符合 . 例 . (1)0,7,26,63,124,? (2) 21? ,1, 45? ,57 , 23? ? 解：（ 1）中通過觀察可以化為 113? ， 123? ， 133? ， 144? ?所以通項(xiàng)13 ??nan . (2)中是分?jǐn)?shù)的數(shù)列，分子分母從表面上觀察不出規(guī)律，但把 1 和 23? 通分后69,57,45,33,21 ???可以看出分母是以 2 為首項(xiàng)的等差數(shù)列，分子是從 1 開始的 奇數(shù)，且項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)為負(fù)，所以 112)1( ???? nna nn . 歸納猜想法的應(yīng)用關(guān)鍵在于如何利用有限的信息猜出通項(xiàng)，要做好這一點(diǎn)需要清楚數(shù)列的本質(zhì)，它是項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系，通過已知的有限項(xiàng)去建立一種數(shù)學(xué)模型，如一次式、二次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式等形式。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 1xba nn ?? ， 其中 }{nb 是以 p 為公比的等比數(shù)列，即11111 , xabpbb nn ??? ? . 類型一 對于由 二階 遞推式 nnn qapaa ?? ?? 12 ，給出的數(shù)列 ??na ，方程02 ??? qpxx ，叫做數(shù)列 ??na 的特征方程 . （ 1） 當(dāng) 方程有兩相同的特征根 1x ， 數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 11)( ??? nn xBAa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ,即 把 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項(xiàng) . （ 2） 當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的特征根 21,xx 時(shí)， 數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ， 即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項(xiàng) . 類型二，對于分式遞推式da qpaa nnn ???? c1，可作特征根方程 dx qpxx ??? c ， （ 1） 當(dāng)特征方程有兩相同的特征根 1x 時(shí) ， 若 ,11 xa? 則 。如 一階遞推式 qpaa nn ???1 。 類型二 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ) 此類型為類型一的變式，既
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