數列通項公式幾種求法的文獻綜述_畢業(yè)論(編輯修改稿)
2025-07-08 22:50 本頁面
【文章內容簡介】 ，兩式相減，得 112 23 ??? ?? nnn aa ， 又 11?a ， 52?a 也 滿足上式，所以 nnn aa 231 ??? 對 *Nn? 成立 兩邊同時除 12?n 得 21223211 ????? nnnn aa，設nnn ab 2?，即 21231 ??? nn bb 兩邊 )1(2311 ???? nn bb，所以 ? ?1?nb 是以23為公比， 23 為首項的等比數列， nnnb )23()23(231 1 ???? ?， ?nb 1)23( ?n ，即 nna2 = 1)23( ?n ，所以 nnna 23 ?? 3，構造差式與和式 [例 12]（ 1，理 20）在數列 ??na 中， 11?a ，nnn nana 2 1)11(1 ?????. 設 nab nn?，求數列 ??nb 的通項公式 . 解：由題知nnn nanna 2 1)1(1 ?????，所以得nnn nana 2111 ???? 即nnn bb 211 ???，由已知得 111 ??ab 從而有nnn bb 211 ???，令 n=1， 2， 3， ..... ， n1有 1133422312 2 1,.....,21,21,21 ?? ???????? nnn bbbbbbbb，以上 n1個式子相加得 1321 2 1.....212121 ??????? nn bb，1321 2 1..... ,212121 ?????? nn bb 1212 ??? nnb(n? 2),又 11?b 滿足，所以1212 ??? nnb [例 13]（ ，文 20）設 b0，數列 ??na 滿足 ba?1 ，11 1??? ? ?na nbaa n nn（ 2?n ） 求數列 ??na 的通項公式 . 解：由11 1??? ? ?na nbaa n nn（ 2?n ），得 )2(111 ????? nbbanannn 當 1?b 時，得banan nn 111 ??? ?=1，數列??????nan 是以首項為 1，公差 為 1的等差數列， nann ??，所以 1?na 當 1?b 時，由待定系數法得 )111(111 1 ?????? ? banbban nn，（ n? 2) 數列?????? ?? 11bann是公比為 b1 ，首項為)1( 1?? bb的等比數列， 所以 nnn bbbbbban )1(1 1)1()1( 111 1 ????????? ?， 1)1( ???? n nn b bbna ， 綜上所述，當 1?b 時， 1?na ；當 1?b 時，1)1( ??? nnn b bbna. 構造差式時與和式，即把數列化為 )(1 nfaa nn ??? 形，或 )(1 nfaa nn ??? 型，然后根據前面 1所學的內容，構造一個等差或等比數列，從而求出通項 4，構造對數或倒數式， （ 1） ，形如qparaa n nn ???1（ p,q,r為常數），可化為rparqa nn ???? 11 1， 令nn ab1? ，即原式化為前面所學的 qpbb nn ???1 ，（ p,q為常數）型 [例 14]，（ ，理 22）已知數列 ??na 的首項 531?a，1231 ??? n nn aaa， ?n 1,2,. 。求 ??na 的通項公式； 解： ?1231 ??? n nn aaa， ?32311 1 ??? nn aa， 所以 )11(3111 1 ???? nn aa，又因為32111 ??a，所以數列?????? ?11na是 31 為公比， 32 為首項的等比數列。所以 11?na=nn 323132 1 ?? ?，所以233?? nnna [例 15]（ ）已知數列 ??na 的首項 321?a，121 ??? n nn a aa,n=1,2,3,. . 證明：數列?????? ?11na是等比數列 . 解：由已知121 ??? n nn a aa得21211 1 ??? nn aa，令nn ab1? ，所以 21211 ??? nn bb ， 由待定系數法得 )1(2111 ???? nn ab，又211111 ??? ab， 所以數列 ? ?1?nb 是以 21 公比， 21 為首項的等比數列，即?????? ?11na是等比數列 （ 2） 形如 knn paa 1?? （ p0, na 0),一般是兩邊取以為 p底的對數， 原式即可化為 npalog = 1log1 ?? np ak ，令 npn ab log? ，所以原式就化為前面我們所學的 11?? ?nn kbb 類型了 [例 16]數列 ??na 中， na 0, 11?a ,且 62 1 3?? ?nn aa ，求數列 ??na 的通項公式 . 解：由 62 1 3?? ?nn aa ，兩邊取以 3為底的對數得 3lo g21lo g313 ???? nn aa， 令 nn ab 3log? ，原式可化為 3211 ???? nn bb，由待定系數法得 )2(2121 ????? nn bb 又 0log 131 ?? ab ， 221 ????b ， 1)21(22 ?????? nnb， 2)21( 2 ???? ?nnb ， 2)
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