最全的遞推數(shù)列求通項公式方法(編輯修改稿)
2025-05-04 23:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 變式: (2005,江西,文,22．本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.解：，兩邊同乘以，可得令…… ……又，。類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設數(shù)列：，求.解：設，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設。(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列(Ⅲ)設的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出 若不存在,則說明理由 解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 （II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列 解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 由（I）、（II）知，又當且僅當時，數(shù)列是等差數(shù)列 類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列｛｝中，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項公式an.解：用數(shù)學歸納法并結合函數(shù)的單調(diào)性證明：（1）方法一 用數(shù)學歸納法證明：1176。當n=1時， ∴，命題正確.2176。假設n=k時有 則 而又∴時命題正確.由1176。、2176。知，對一切n∈N時有方法二：用數(shù)學歸納法證明： 1176。當n=1時，∴； 2176。假設n=k時有成立， 令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時 成立，所以對一切 （2）解法一：所以 ,又bn=－1，所以解法二：由（I）知，兩邊取以2為底的對數(shù)，令,則或變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明
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