數(shù)列通項公式專題老師版(編輯修改稿)
2025-04-21 02:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)列求解，相當(dāng)如換元法。例9．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1 =+2，求．解：設(shè)，則，為等比數(shù)列，點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)來求得,也可用“歸納—猜想—證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型．例10．已知數(shù)列滿足求an．解：將兩邊同除，得，變形為．設(shè)，則．令，得．條件可化成，數(shù)列為首項，為公差的等比數(shù)列．．因，所以=得=．點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型．例11．已知數(shù)列滿足求an．解：設(shè)通展開后，得．由，解得，條件可以化為得數(shù)列為首項，為公差的等比數(shù)列，．問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得．點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由求出，從而化歸為上述已知題型．三、課堂練習(xí)1．設(shè){an}的首項為1的正項數(shù)列，且求它的通項公式。解：由題意a1=1 , an0,(n=1,2,3,…..) ，。2．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有兩種菜譜可供選擇（每人選一種），調(diào)查表明：凡是在星期一選A菜譜的，下星期一會有20%改選B，而選B的，下星期一則有30%改選A，若用分別表示在第n個星期一選A、B的人數(shù)。（1）試用表示； （2）證明：。解:(1) ；(2)。四、備選習(xí)題1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1/2,a1+a2+…+an=n2an,求an解：a1+a2+…+an=n2an，a1+a2+…+an─1=an─1 222。an/an─1=(n─1)/(n+1)，取n=2,3,4,…,n代入上式，各式相乘得：an/a1===2．?dāng)?shù)列{an}的前n項之和Sn和第n項an之間滿足2lg=lgSn+lg(1─an),求an和Sn解：原式可以變?yōu)?Sn─an+1)2=4Sn(1─an)222。a1=1/2,可以變?yōu)?Sn─1+1)2=4Sn(1+Sn─1─Sn)222。(Sn─1+1)2─4Sn(Sn─1+1)+4Sn2=(Sn─1+1─2Sn)2=0222。Sn─
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