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構造法在中學數(shù)學中的應用研究畢業(yè)論文-文庫吧資料

2024-09-05 12:06本頁面
  

【正文】 能通過恰當?shù)淖儞Q,構造出相對簡單和熟悉的三角結構出來,從而解決問題。尤其是以下幾種情況: ○ 1 常值代換,特別是“ 1”的代換,如: 221 sin cosxx?? ○ 2 特殊替代,尤其是含有“ ” 的情況,如 21 x? , 需要用 sinx 代替題目中的 x 。 三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內容之一,其考察方式主要與代數(shù),幾何知識進行聯(lián)系,它是研究其他各部分知識的重要工具,又是高考考察雙基的重要內容。(提示:構造等式 1n n na S S ??? , 與提干中的條件22 ( 2)2 1nn nSanS??聯(lián)立起來,可得: 112n n n nS S S S???? ,兩邊同除 1nnSS? ,即可得出1{}nS是以 2 為公差的等差數(shù)列)等。還有許許多多的構造方法在此就不在一一論述,如:構造圖形法解數(shù)列題:等差數(shù)列數(shù)列 {}na ,其中,1820, 15aa? ? ? ,問在哪項時 nS 最大。 構造法在數(shù)列解題 中的應用非常廣泛,不論在求通項方面還是在求和方面都有涉及。 例 6:已知數(shù)列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 解: 1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ? ? 114 2 12nna n a n?? ? ? ? 即: 114 [ ( 4 ( 1 ) ] 32nna n a n?? ? ? ? ? 現(xiàn)令: 4nna n b?? 可得: 11 32nnbb??? 同上所得: 13 462n nan?? ? ? 結論:當諸如 遇到以上數(shù)列形式時,即: 1nna pa qn b?? ? ?。用上述的構造方法做是行不通的 。但是遇到 ( ) ( 0 , 1nna pa f n p? ? ?其 中 是 常 數(shù) , 且 )形式時, 又該如何做呢? 如: 例 6:已知數(shù)列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 。完整過程如下: 例 5:已知數(shù)列 {}na 滿足 114, 3 2nna a a ?? ? ?, 求數(shù)列通項 na 解 : 132nnaa??? 構造如下關系式: 13( )nna d a d? ? ?; 可 得 : =1d11 31nnaa?? ??即 : 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a? ? ? ? ?, 是 首 項 為 , 公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 即: 13nna ?? 結論: 當題目中出現(xiàn)如關系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C?? ? ? 均 為 常 數(shù) , 1B?, 0)C? 時 , na可 用 構 造 等 比 數(shù) 列 的 方 法 求 數(shù) 列 的 通 項 公 式 : 1 ()nna m B a m? ? ? ? ( ) , { }11nCCmaBB????其 中 從 而 得 出 B是 以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列。表面上看既不符合等差關系也不符合等比關系,但是如果將關系式 132nnaa???構造成關系式 3( )nna d a d? ? ?。其實,解題的方向就在題目中所給的關系式,只需通過合適的關系變換就容易解決。數(shù)列中的遞推思想,函數(shù)思想,分類討論思想以 及數(shù)列求和,求通項等各種方法和技巧在中學數(shù)學中都有十分重要的地位。 用構造法求解數(shù)列問題 數(shù)列是中學數(shù)學最為重要的內容,也是高考考查的重點和難點。上述兩個例題主要分析了絕對值和根號問題解答過程中所應聯(lián)想到的方法。增補方式如 圖 5 所示 , 圖 5 在日常解題過程中要注意對問題的歸納, 再 遇到一個新問題時 ,尤其是自己無從下手的問題,需要我們聯(lián)想到一個類似的問題,最終將它轉化成一個簡單的圖 4 CEDF OA B常熟理工學院畢業(yè)設計(論文) 7 問題。 上述問題的變式很多,作者曾做到過很多類似的問題,如某市中考模擬卷中有如下一個問題: 變式 1:在 ABC? 中, ,AB BC AC 三邊的長為 10 5 1 、 ,求這個三角形的 積? 解析:用高中數(shù)學知識解答是能夠完成 ,通過聯(lián)立 2 2 2 2 c o sc a b ab c? ? ? , 1 sin2S ab c? 兩個公式即可解決,但是計算起來相對復雜,況且是初中數(shù)學問題。 3 2 41 20 3 651 (圖 3) 綜上所述:我們可以得到,函數(shù)的值域是 ? ?5,?? 。 例 3:求函數(shù) 32y x x? ? ? ?的值域 解析: 一般在做這種類型題目時,往往會采用分類討論的思想,但是考慮的因素會較多,不便于書寫。但是我們通過觀察會發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像就是一個圓,轉化可得: 22( 2) 9yx? ? ?, 這樣就可以很直觀的得出函數(shù)的值域是 ? ?0,3 , 其次還有諸如數(shù)學符號“ ”可以將絕對值中的方程構造成點與點之間 的距離;數(shù)學符號“ ” 構造成平面中點到點的距離,圓,圓錐曲線等圖像形式,當然,還有很多其他的一些構造圖像解問題方法。 巧妙構造圖像性質解決數(shù)學問題 數(shù)形轉換是我們經(jīng)常采用的構造方法之一,就是把代數(shù)與幾何相結合,抽象與直觀相聯(lián)系,使問題直觀化。解題通用過程大致如下: 例 2:解方程: 225 3 3 2x x x? ? ? ? ? 解: 根據(jù)方程可以構造出以下輔助恒等式: ? ?225 3 3 3 2x x x x? ? ? ? ? ?( 1) 將原方程標記為等式( 2) , 由( 1) ? ( 2)可得: 22 325 3 3 2xx x x ?? ? ? ? ?( 3)( 2) +( 3)得: 225x ?? 362x? 解得: 222, 7xx?? 總結:在 做上述例題時,并不對所有類 似的題都是有效的,需要滿足以下條件 (一):根號內的未知數(shù)最高次項必須是相同的; (二):最高次項前的系數(shù)必須是相同的; 只有滿足以上兩個條件才能用上訴的方法解答。如果說上述方法 重在創(chuàng)新,以下的例題則更強調對解題方法的記憶和理解。 聯(lián)想到二次函數(shù)進而 構造出一元二次方程 : 2( ) ( ) ( ) 0c b x c a x b a? ? ? ? ? ?, 通過觀察 分析 所得: 1x?? 是方程的一個根 。如以下例題: 例 1:已知 abc??,求證: 1 1 4c b b a c a??? ? ? 分 析 : 學 生在 做 這 種題 目 時 ,會 想 到 通過 分 母進 行 通 分得 到 :2( ) 4( ) ( )c a c b b a? ? ? ?,做到這思維往往就會停滯,不知如何開展,其實如果將不等式右邊的代數(shù)式移到左邊得 2( ) 4( ) ( ) 0c a c b b a? ? ? ? ?, 做到這,通過觀察,分析可以聯(lián)想到上述不等式與一元二次方程根的判別式: 2 4b ac?? ? 是相似的,通過逆向構造一元二次方程可得 2( ) ( ) ( ) 0c b x c a x b a? ? ? ? ? ?, 進而通過判別式方法來解決。構造法的大體結構如下: 得出結論構造適當?shù)臄?shù)學對象或形式 實現(xiàn)轉換通過推演實現(xiàn)轉換通過創(chuàng)造性思維對條件 , 結論及其相互關系進行分析 構造法有以下兩種基本特征: (一 ) : 對所討論的對象 能進行較為直觀的描述; (二) : 實現(xiàn)的具體性,就是不只是判明某種解的存在性,而且要實現(xiàn)具體求解 如何利用構造性方法解決方程類問題 方程的求解方法最早出現(xiàn)在我國的數(shù)學著作《九章算術》中,經(jīng)過無數(shù)數(shù)學家的不懈努力,在十六世紀,已經(jīng)找到三次和四次函數(shù)的求根公式,但至今無人能解決五次以上的代數(shù)方程的根式解。同時為了直觀的了 解現(xiàn)在中學生對構造法的理解程度,本文將 通過調查問卷的形式,來分析中學生對這一重難點的認知水平和知識建構情況 ,調查對象為高中一年級和二年級,通過縱向與橫向研究,來分析不同年級以及不同學生間對構造法掌握的差異程度,并且對所得結果提出了作者本人的看法 。 上述兩種方法都是以分開的形式進行研究, 雖然各有優(yōu)點,但是 不能有效的,從整體上來分析中學生如何有效的掌握利用構造法解題的方式。構造法解題 同樣有其一定的規(guī)律性,通過學生對方法技巧的掌握,從構造法的特點入手,也能有效的利用好這個解題工具 [5]。構造法解題的巧妙之處不是直接去解所給問題 A ,而是構造一個與問題 A 先關的輔助問題 B ,通過 B 來解決問題 A 。 教師應在數(shù)學教學中廣泛運用構造法,在潛移默化中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力 [3]。 構造法的教學有利于提高學生對數(shù)學模型的敏感性,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新和發(fā)散思維能力以及促使學生完善數(shù)學認知結構,增強學生自我建構的能力 [2]。(一)構造法的理論教學研究。同時比肖泊采用數(shù)學上大家熟悉的習慣術語和符號,所以為一般數(shù)學家容易看懂。 但是,因為這種構造法外 行人讀起來十分困難,使之算法數(shù)學由于缺乏合適的框架來進行數(shù)學實踐,而處于一種冬眠的狀態(tài)。 (二)算法數(shù)學階段, 由于直覺數(shù)學難以為人讀懂,同時直覺數(shù)學對排斥非構造數(shù)學和傳統(tǒng)邏輯的錯誤做法,無法解釋后者在一定范圍內的應用上的有
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