【正文】 能通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q，構(gòu)造出相對(duì)簡單和熟悉的三角結(jié)構(gòu)出來，從而解決問題。尤其是以下幾種情況： ○ 1 常值代換，特別是“ 1”的代換，如： 221 sin cosxx?? ○ 2 特殊替代，尤其是含有“ ” 的情況，如 21 x? ， 需要用 sinx 代替題目中的 x 。 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其考察方式主要與代數(shù)，幾何知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，它是研究其他各部分知識(shí)的重要工具，又是高考考察雙基的重要內(nèi)容。（提示：構(gòu)造等式 1n n na S S ??? ， 與提干中的條件22 ( 2)2 1nn nSanS??聯(lián)立起來，可得： 112n n n nS S S S???? ，兩邊同除 1nnSS? ，即可得出1{}nS是以 2 為公差的等差數(shù)列）等。還有許許多多的構(gòu)造方法在此就不在一一論述，如：構(gòu)造圖形法解數(shù)列題：等差數(shù)列數(shù)列 {}na ，其中，1820, 15aa? ? ? ，問在哪項(xiàng)時(shí) nS 最大。 構(gòu)造法在數(shù)列解題 中的應(yīng)用非常廣泛，不論在求通項(xiàng)方面還是在求和方面都有涉及。 例 6：已知數(shù)列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 解： 1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ? ? 114 2 12nna n a n?? ? ? ? 即： 114 [ ( 4 ( 1 ) ] 32nna n a n?? ? ? ? ? 現(xiàn)令： 4nna n b?? 可得： 11 32nnbb??? 同上所得： 13 462n nan?? ? ? 結(jié)論：當(dāng)諸如 遇到以上數(shù)列形式時(shí)，即： 1nna pa qn b?? ? ?。用上述的構(gòu)造方法做是行不通的 。但是遇到 ( ) ( 0 , 1nna pa f n p? ? ?其 中 是 常 數(shù) ， 且 ）形式時(shí)， 又該如何做呢？ 如： 例 6：已知數(shù)列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 。完整過程如下： 例 5：已知數(shù)列 {}na 滿足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數(shù)列通項(xiàng) na 解 : 132nnaa??? 構(gòu)造如下關(guān)系式： 13( )nna d a d? ? ?； 可 得 ： =1d11 31nnaa?? ??即 ： 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a? ? ? ? ?， 是 首 項(xiàng) 為 ， 公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 即： 13nna ?? 結(jié)論： 當(dāng)題目中出現(xiàn)如關(guān)系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C?? ? ? 均 為 常 數(shù) ， 1B?， 0)C? 時(shí) ， na可 用 構(gòu) 造 等 比 數(shù) 列 的 方 法 求 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 ： 1 ()nna m B a m? ? ? ? ( ) , { }11nCCmaBB????其 中 從 而 得 出 B是 以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列。表面上看既不符合等差關(guān)系也不符合等比關(guān)系，但是如果將關(guān)系式 132nnaa???構(gòu)造成關(guān)系式 3( )nna d a d? ? ?。其實(shí)，解題的方向就在題目中所給的關(guān)系式，只需通過合適的關(guān)系變換就容易解決。數(shù)列中的遞推思想，函數(shù)思想，分類討論思想以 及數(shù)列求和，求通項(xiàng)等各種方法和技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有十分重要的地位。 用構(gòu)造法求解數(shù)列問題 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。上述兩個(gè)例題主要分析了絕對(duì)值和根號(hào)問題解答過程中所應(yīng)聯(lián)想到的方法。增補(bǔ)方式如 圖 5 所示 ， 圖 5 在日常解題過程中要注意對(duì)問題的歸納， 再 遇到一個(gè)新問題時(shí) ，尤其是自己無從下手的問題，需要我們聯(lián)想到一個(gè)類似的問題，最終將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡單的圖 4 CEDF OA B常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 問題。 上述問題的變式很多，作者曾做到過很多類似的問題，如某市中考模擬卷中有如下一個(gè)問題： 變式 1：在 ABC? 中， ,AB BC AC 三邊的長為 10 5 1 、 ，求這個(gè)三角形的 積？ 解析：用高中數(shù)學(xué)知識(shí)解答是能夠完成 ，通過聯(lián)立 2 2 2 2 c o sc a b ab c? ? ? ， 1 sin2S ab c? 兩個(gè)公式即可解決，但是計(jì)算起來相對(duì)復(fù)雜，況且是初中數(shù)學(xué)問題。 3 2 41 20 3 651 （圖 3） 綜上所述：我們可以得到，函數(shù)的值域是 ? ?5,?? 。 例 3：求函數(shù) 32y x x? ? ? ?的值域 解析： 一般在做這種類型題目時(shí)，往往會(huì)采用分類討論的思想，但是考慮的因素會(huì)較多，不便于書寫。但是我們通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像就是一個(gè)圓，轉(zhuǎn)化可得： 22( 2) 9yx? ? ?， 這樣就可以很直觀的得出函數(shù)的值域是 ? ?0,3 ， 其次還有諸如數(shù)學(xué)符號(hào)“ ”可以將絕對(duì)值中的方程構(gòu)造成點(diǎn)與點(diǎn)之間 的距離；數(shù)學(xué)符號(hào)“ ” 構(gòu)造成平面中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓，圓錐曲線等圖像形式，當(dāng)然，還有很多其他的一些構(gòu)造圖像解問題方法。 巧妙構(gòu)造圖像性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題 數(shù)形轉(zhuǎn)換是我們經(jīng)常采用的構(gòu)造方法之一，就是把代數(shù)與幾何相結(jié)合，抽象與直觀相聯(lián)系，使問題直觀化。解題通用過程大致如下： 例 2：解方程： 225 3 3 2x x x? ? ? ? ? 解： 根據(jù)方程可以構(gòu)造出以下輔助恒等式： ? ?225 3 3 3 2x x x x? ? ? ? ? ?（ 1） 將原方程標(biāo)記為等式（ 2） ， 由（ 1） ? （ 2）可得： 22 325 3 3 2xx x x ?? ? ? ? ?（ 3）（ 2） +（ 3）得： 225x ?? 362x? 解得： 222, 7xx?? 總結(jié)：在 做上述例題時(shí)，并不對(duì)所有類 似的題都是有效的，需要滿足以下條件 （一）：根號(hào)內(nèi)的未知數(shù)最高次項(xiàng)必須是相同的； （二）：最高次項(xiàng)前的系數(shù)必須是相同的； 只有滿足以上兩個(gè)條件才能用上訴的方法解答。如果說上述方法 重在創(chuàng)新，以下的例題則更強(qiáng)調(diào)對(duì)解題方法的記憶和理解。 聯(lián)想到二次函數(shù)進(jìn)而 構(gòu)造出一元二次方程 ： 2( ) ( ) ( ) 0c b x c a x b a? ? ? ? ? ?， 通過觀察 分析 所得： 1x?? 是方程的一個(gè)根 。如以下例題： 例 1：已知 abc??，求證： 1 1 4c b b a c a??? ? ? 分 析 ： 學(xué) 生在 做 這 種題 目 時(shí) ，會(huì) 想 到 通過 分 母進(jìn) 行 通 分得 到 ：2( ) 4( ) ( )c a c b b a? ? ? ?，做到這思維往往就會(huì)停滯，不知如何開展，其實(shí)如果將不等式右邊的代數(shù)式移到左邊得 2( ) 4( ) ( ) 0c a c b b a? ? ? ? ?， 做到這，通過觀察，分析可以聯(lián)想到上述不等式與一元二次方程根的判別式： 2 4b ac?? ? 是相似的，通過逆向構(gòu)造一元二次方程可得 2( ) ( ) ( ) 0c b x c a x b a? ? ? ? ? ?， 進(jìn)而通過判別式方法來解決。構(gòu)造法的大體結(jié)構(gòu)如下： 得出結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對(duì)象或形式 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換通過推演實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換通過創(chuàng)造性思維對(duì)條件 ， 結(jié)論及其相互關(guān)系進(jìn)行分析 構(gòu)造法有以下兩種基本特征： （一 ） ： 對(duì)所討論的對(duì)象 能進(jìn)行較為直觀的描述； （二） ： 實(shí)現(xiàn)的具體性，就是不只是判明某種解的存在性，而且要實(shí)現(xiàn)具體求解 如何利用構(gòu)造性方法解決方程類問題 方程的求解方法最早出現(xiàn)在我國的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，經(jīng)過無數(shù)數(shù)學(xué)家的不懈努力，在十六世紀(jì)，已經(jīng)找到三次和四次函數(shù)的求根公式，但至今無人能解決五次以上的代數(shù)方程的根式解。同時(shí)為了直觀的了 解現(xiàn)在中學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的理解程度，本文將 通過調(diào)查問卷的形式，來分析中學(xué)生對(duì)這一重難點(diǎn)的認(rèn)知水平和知識(shí)建構(gòu)情況 ，調(diào)查對(duì)象為高中一年級(jí)和二年級(jí)，通過縱向與橫向研究，來分析不同年級(jí)以及不同學(xué)生間對(duì)構(gòu)造法掌握的差異程度，并且對(duì)所得結(jié)果提出了作者本人的看法 。 上述兩種方法都是以分開的形式進(jìn)行研究， 雖然各有優(yōu)點(diǎn)，但是 不能有效的，從整體上來分析中學(xué)生如何有效的掌握利用構(gòu)造法解題的方式。構(gòu)造法解題 同樣有其一定的規(guī)律性，通過學(xué)生對(duì)方法技巧的掌握，從構(gòu)造法的特點(diǎn)入手，也能有效的利用好這個(gè)解題工具 [5]。構(gòu)造法解題的巧妙之處不是直接去解所給問題 A ，而是構(gòu)造一個(gè)與問題 A 先關(guān)的輔助問題 B ，通過 B 來解決問題 A 。 教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛運(yùn)用構(gòu)造法，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 [3]。 構(gòu)造法的教學(xué)有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的敏感性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)散思維能力以及促使學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生自我建構(gòu)的能力 [2]。（一）構(gòu)造法的理論教學(xué)研究。同時(shí)比肖泊采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語和符號(hào)，所以為一般數(shù)學(xué)家容易看懂。 但是，因?yàn)檫@種構(gòu)造法外 行人讀起來十分困難，使之算法數(shù)學(xué)由于缺乏合適的框架來進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。 （二）算法數(shù)學(xué)階段， 由于直覺數(shù)學(xué)難以為人讀懂，同時(shí)直覺數(shù)學(xué)對(duì)排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯的錯(cuò)誤做法，無法解釋后者在一定范圍內(nèi)的應(yīng)用上的有