【正文】 )c a c b b a? ? ? ? 將不等式 的 右邊移到不等式左邊可得： 2( ) 4( ) ( ) 0c a c b b a? ? ? ? ? 。 常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中是一種重要的思維方法，運(yùn)用構(gòu)造法解題可以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生分析，觀察，解決問題的能力，培養(yǎng)好學(xué)生的創(chuàng)新思維。構(gòu)造法解題在中學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用 ，所涉及的知識點(diǎn)也很廣，但主要?dú)w納起來為以下幾個方面： ； 例； [6]。 （二）構(gòu)造法解題的基本類型分析 。 構(gòu)造法的主要特點(diǎn)是創(chuàng)新性，發(fā)散性，需要學(xué)生具有一定的創(chuàng)新思 維能力 ，同時要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識的把握要牢固 ，學(xué)生只有通過自己的再創(chuàng)造而獲得的知識才能被掌握和靈活應(yīng)用 [1]。 （三）現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段，由比肖泊提出，他避免使用直覺派的超數(shù)學(xué)原理，擺脫了算法數(shù)學(xué)對遞歸函數(shù) —— 理論方法的不必要依賴，超脫了對于形式體系的任何束縛，從而保留了進(jìn)一步創(chuàng)新的余地。以及近代構(gòu)造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者布勞威，其主張 存在必須被構(gòu)造的觀點(diǎn)。 構(gòu)造法的發(fā)展歷史主要包括以下幾個過程：（一）直觀數(shù)學(xué)階段， 先驅(qū)者是 19 世紀(jì)末德國的克隆尼克 。 構(gòu)造法歷史發(fā)展過程： 從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的那天起，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造性方法就伴隨著產(chǎn)生了。 Analysis。 保密的畢業(yè)設(shè)計 (論文 )在解密后遵守此規(guī)定。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本人簽名： 日期： 導(dǎo)師簽名： 日期： 常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） I 構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究 摘要 構(gòu)造法是一種重要的劃歸手段，學(xué)生通過觀察 、 分析 、 抓住特征 、 聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來達(dá)到解題的目的 ， 在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中具有重要的作用，主要涉及函數(shù)，圖形，方程，數(shù)列等內(nèi)容。 Creativity。但是構(gòu)造性方法這個術(shù)語的提出，以至把這個方法推向極端，并致力于這個方法的研究， 是與 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直觀派有關(guān)。 他認(rèn)為 “ 定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應(yīng)當(dāng)許可計算到任意的精確 度。 （二）算法數(shù)學(xué)階段， 由于直覺數(shù)學(xué)難以為人讀懂，同時直覺數(shù)學(xué)對排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯的錯誤做法，無法解釋后者在一定范圍內(nèi)的應(yīng)用上的有效性，所以產(chǎn)生了另外幾種構(gòu)造性傾向，主要是算法數(shù)學(xué)。同時比肖泊采用數(shù)學(xué)上大家熟悉的習(xí)慣術(shù)語和符號，所以為一般數(shù)學(xué)家容易看懂。 構(gòu)造法的教學(xué)有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的敏感性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)散思維能力以及促使學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生自我建構(gòu)的能力 [2]。構(gòu)造法解題的巧妙之處不是直接去解所給問題 A ，而是構(gòu)造一個與問題 A 先關(guān)的輔助問題 B ，通過 B 來解決問題 A 。 上述兩種方法都是以分開的形式進(jìn)行研究， 雖然各有優(yōu)點(diǎn)，但是 不能有效的，從整體上來分析中學(xué)生如何有效的掌握利用構(gòu)造法解題的方式。構(gòu)造法的大體結(jié)構(gòu)如下： 得出結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對象或形式 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換通過推演實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換通過創(chuàng)造性思維對條件 ， 結(jié)論及其相互關(guān)系進(jìn)行分析 構(gòu)造法有以下兩種基本特征： （一 ） ： 對所討論的對象 能進(jìn)行較為直觀的描述； （二） ： 實(shí)現(xiàn)的具體性，就是不只是判明某種解的存在性，而且要實(shí)現(xiàn)具體求解 如何利用構(gòu)造性方法解決方程類問題 方程的求解方法最早出現(xiàn)在我國的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，經(jīng)過無數(shù)數(shù)學(xué)家的不懈努力，在十六世紀(jì)，已經(jīng)找到三次和四次函數(shù)的求根公式，但至今無人能解決五次以上的代數(shù)方程的根式解。 聯(lián)想到二次函數(shù)進(jìn)而 構(gòu)造出一元二次方程 ： 2( ) ( ) ( ) 0c b x c a x b a? ? ? ? ? ?， 通過觀察 分析 所得： 1x?? 是方程的一個根 。解題通用過程大致如下： 例 2：解方程： 225 3 3 2x x x? ? ? ? ? 解： 根據(jù)方程可以構(gòu)造出以下輔助恒等式： ? ?225 3 3 3 2x x x x? ? ? ? ? ?（ 1） 將原方程標(biāo)記為等式（ 2） ， 由（ 1） ? （ 2）可得： 22 325 3 3 2xx x x ?? ? ? ? ?（ 3）（ 2） +（ 3）得： 225x ?? 362x? 解得： 222, 7xx?? 總結(jié)：在 做上述例題時，并不對所有類 似的題都是有效的，需要滿足以下條件 （一）：根號內(nèi)的未知數(shù)最高次項必須是相同的； （二）：最高次項前的系數(shù)必須是相同的； 只有滿足以上兩個條件才能用上訴的方法解答。但是我們通過觀察會發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像就是一個圓，轉(zhuǎn)化可得： 22( 2) 9yx? ? ?， 這樣就可以很直觀的得出函數(shù)的值域是 ? ?0,3 ， 其次還有諸如數(shù)學(xué)符號“ ”可以將絕對值中的方程構(gòu)造成點(diǎn)與點(diǎn)之間 的距離；數(shù)學(xué)符號“ ” 構(gòu)造成平面中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，圓，圓錐曲線等圖像形式，當(dāng)然，還有很多其他的一些構(gòu)造圖像解問題方法。 3 2 41 20 3 651 （圖 3） 綜上所述：我們可以得到，函數(shù)的值域是 ? ?5,?? 。增補(bǔ)方式如 圖 5 所示 ， 圖 5 在日常解題過程中要注意對問題的歸納， 再 遇到一個新問題時 ，尤其是自己無從下手的問題，需要我們聯(lián)想到一個類似的問題，最終將它轉(zhuǎn)化成一個簡單的圖 4 CEDF OA B常熟理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 問題。 用構(gòu)造法求解數(shù)列問題 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。其實(shí)，解題的方向就在題目中所給的關(guān)系式，只需通過合適的關(guān)系變換就容易解決。完整過程如下： 例 5：已知數(shù)列 {}na 滿足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數(shù)列通項 na 解 : 132nnaa??? 構(gòu)造如下關(guān)系式： 13( )nna d a d? ? ?； 可 得 ： =1d11 31nnaa?? ??即 ： 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a? ? ? ? ?， 是 首 項 為 ， 公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 即： 13nna ?? 結(jié)論： 當(dāng)題目中出現(xiàn)如關(guān)系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C?? ? ? 均 為 常 數(shù) ， 1B?， 0)C? 時 ， na可 用 構(gòu) 造 等 比 數(shù) 列 的 方 法 求 數(shù) 列 的 通 項 公 式 ： 1 ()nna m B a m? ? ? ? ( ) , { }11nCCmaBB????其 中 從 而 得 出 B是 以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列。用上述的構(gòu)造方法做是行不通的 。 構(gòu)造法在數(shù)列解題 中的應(yīng)用非常廣泛，不論在求通項方面還是在求和方面都有涉及。（提示：構(gòu)造等式 1n n na S S ??? ， 與提干中的條件22 ( 2)2 1nn nSanS??聯(lián)立起來，可得： 112n n n nS S S S???? ，兩邊同除 1nnSS? ，即可得出1{}nS是以 2 為公差的等差數(shù)列）等。尤其是以下幾種情況： ○ 1 常值代換，特別是“ 1”的代換，如： 221 sin cosxx?? ○ 2 特殊替代，尤其是含有“ ” 的情況，如 21 x? ， 需要用 sinx 代替題目中的 x 。 一 ：常值構(gòu)造法。在做這一類題目時，要注重觀察分析，看是否能夠替換，并不一定對所有的 1 都可以替換成 22sin cos??? ，以免畫蛇添足，利用構(gòu)造 法解題在于其中介作用，以繁化簡，以難化易。知 1, 1ab??，結(jié)論要求證明 221ab??，容易聯(lián)想到 22sin cos 1????，因此，我們構(gòu)造 s in , s in , ( , )22ab ??? ? ? ?? ? ? ? ?， 所以 2211a b b a? ? ?= s i n c o s s i n c o s s i n ( ) 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?，可得 2????? ， 所以 2 2 2 2 2 2si n si n si n c os 1ab ? ? ? ?? ? ? ? ? ?。上述問題通過常規(guī)思維去做是十分復(fù)雜，甚至是難以解決的，需要通過發(fā)散性思維來思考，通過豐富想象，邏輯構(gòu)造可以進(jìn)行有效解決。本題根據(jù)題目所給要求完全不能看出誰大誰小，但是經(jīng)過關(guān)系的轉(zhuǎn)換，可以很容易構(gòu)造出相對簡單的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而就能直觀的看出題目的結(jié)論。 解析：在遇到這種問題時，學(xué)生思維容易混亂，很容易被題目中的數(shù)據(jù)所困擾，同時小球的色彩種類較多，不易找出題目所含問題的 突破口。問：最小取幾次能 夠保證取到 10 個相同顏色的球？ 解析：和上題題干信息相同，但是問題是取 10 個相同顏色的球。 上述例 11 和其變題所涉及的方法叫做抽屜法，抽屜法的定義是：如果每個抽屜代表一個集合，每一個物體可以代表一個元素，假如有 1n? 或者多于 1n? 個元素放到 n 個集合中取，其中必定至少有一個集合里有兩個元素。其結(jié)果為： 28+41+20101212+x =64， x =9（人）。 ．調(diào)查的設(shè)計、方 法和過程 本次調(diào)查采用分層調(diào)查的模式