對(duì)稱思想在幾何中的應(yīng)用研究畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-08 17:46:27 本頁(yè)面
【正文】 性的最值問(wèn)題，關(guān)健在于掌握點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法。①又∵中點(diǎn)（垂足）在直線上，則有分析：只要求出圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，即為對(duì)稱圓的圓心，半徑不變，方可寫出圓的方程。將①②聯(lián)立解得:∴對(duì)稱點(diǎn)為例三：求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線。解：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，∵直線的斜率存在且不為0；∴直線AB 的斜率存在。它們的解析式，它們的具體性質(zhì)，它們相互之間的關(guān)系也就是我們中學(xué)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。比如圓錐體 2 : 設(shè)圓錐體的高為，底圓半徑為，由圖可知圓錐體關(guān)于軸對(duì)稱，于是我們可以將它看作是由平面圖形，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得。這兩類問(wèn)題就是《規(guī)劃論》中的對(duì)偶問(wèn)題，我們把問(wèn)題(1)視為原問(wèn)題，問(wèn)題(2)視為原問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題。在幾何圖形中，平行四邊形是中心對(duì)稱的；等腰三角形是軸對(duì)稱的；圓關(guān)于圓心是對(duì)稱的；關(guān)于直徑也是對(duì)稱的；正方形關(guān)于其中心是對(duì)稱的；球則最為特殊，它既是中心對(duì)稱、又是軸對(duì)稱、也是面對(duì)稱的圖形。對(duì)稱是最能給人以美感的一種形式。在邏輯代數(shù)(布爾代數(shù))運(yùn)算中也相應(yīng)的有對(duì)偶原理。從函數(shù)角度看，函數(shù)與反函數(shù)也可視為一種“對(duì)稱”,還有變換與反變換、映像與逆映像等也屬對(duì)稱。在高等數(shù)學(xué)里，對(duì)稱的例子也經(jīng)常遇到。狹義的對(duì)稱又包括代數(shù)對(duì)稱和幾何對(duì)稱?！睂?duì)稱是廣義的，字母的對(duì)稱，結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，圖形的對(duì)稱，解法的對(duì)稱數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想蘊(yùn)涵著豐富的美學(xué)思想和思維方法，充分挖掘教材中的對(duì)稱思想，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義，特別具有審美教育的價(jià)值。19參考文獻(xiàn)16五 對(duì)稱思想的進(jìn)一步探討2三 對(duì)稱思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2 （二）幾何圖形的對(duì)稱性1一 對(duì)稱思想的意義1 （一）幾何公式的對(duì)稱性3（一）對(duì)稱思想在平面解析幾何中的應(yīng)用11四 對(duì)稱思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用12（一）對(duì)稱思想在射影幾何中的應(yīng)用15（三）對(duì)稱思想在積分學(xué)中的應(yīng)用一 對(duì)稱思想的意義對(duì)稱似乎是世間萬(wàn)事萬(wàn)物的一種表現(xiàn)形式或現(xiàn)象，而且它成為各種學(xué)科，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、建筑、美學(xué)、繪畫等的基本理論和表現(xiàn)形式之一?！? 對(duì)稱思想是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)重要組成部分，它普遍表現(xiàn)在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。矩陣和行列式被人們稱為“美麗的花園”，即使不懂?dāng)?shù)學(xué)的人，也能感到其排列的整齊和處處對(duì)稱，從而領(lǐng)略它們的形式之美。從命題的角度看，正定理與逆定理、否定理、逆否定理等也存在著“對(duì)稱”關(guān)系。在射影幾何中，點(diǎn)和直線之間建立了對(duì)偶關(guān)系，進(jìn)而得出對(duì)偶原理：在平面幾何的任一定理中，如果把點(diǎn)換成直線，直線換成點(diǎn)，并把諸種關(guān)系換成相應(yīng)的對(duì)偶關(guān)系，所得到的新命題依然成立。對(duì)稱性在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對(duì)偶、對(duì)應(yīng)等等。又如，《解析幾何》中的圓柱、圓錐、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球面等這圖形都有鮮明的對(duì)稱性，直觀地給人以美的享受。由于它們具有對(duì)稱性，我們要求原問(wèn)題的最大值，就是求對(duì)偶問(wèn)題的最小值；要求對(duì)偶問(wèn)題的最小值，就是求原問(wèn)題的最大值。截面面積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，從而在 上可積，所以其體積為三 對(duì)稱思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（一）對(duì)稱思想在平面解析幾何中的應(yīng)用 在平面解析幾何中所研究的對(duì)稱是狹義對(duì)稱中的幾何對(duì)稱。先看一個(gè)實(shí)例：一條筆直的小河同側(cè)有兩個(gè)村莊、問(wèn)在河上何處建造一個(gè)抽水機(jī)泵房，使這個(gè)泵房到、兩村架設(shè)的管道最短我們知道，兩點(diǎn)之間線段最短，只要找出（或）關(guān)于小河的對(duì)稱點(diǎn)3（或）連接（或）與小河的交點(diǎn)即為所找的建造泵房的位置，這就是生活中關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用。5 ，即解：設(shè)對(duì)稱直線上的點(diǎn)坐標(biāo)為則它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為該點(diǎn)在上，得，即 例四：求直線關(guān)于的對(duì)稱直線方程。解：設(shè)圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為；∵直線的斜率，∴直線的斜率存在；∴即在幾何中，我們利用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)單，所得的曲線曲面的方程簡(jiǎn)潔明了。而在方程中保留坐標(biāo)軸不變，用代替，便得橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程：。①由于 、是曲線上不同的兩點(diǎn)，因?yàn)?解得： （三）對(duì)稱思想在立體幾何中的應(yīng)用 立體幾何除了點(diǎn)、線的關(guān)系，又增加了面、體兩方面，同樣是研究點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系，是一個(gè)開放式的體系。 解：如圖5,考慮點(diǎn),和，則,動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是直線：關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),由 11圖5例九：已知二面角的大小為度，點(diǎn)分別在平面內(nèi)，點(diǎn)到平面的距離分別是，求周長(zhǎng)的最小值。秩序性是最重要、最基本的數(shù)學(xué)原則之一，它貫穿整個(gè)射影幾何，不論哪種變換都要求有序。對(duì)偶原理是射影幾何所固有的，它只適用
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1