【正文】 2112211+,.n n n k n knnnnn k n kx a x a x a xxxxxxx? ? ?????? ? ? ?? ? ??? ??????????，韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項中的應用 第 8 頁 共 18 頁 可表示為 矩陣形式11 2 112211 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 nnkkn k n kn k n kxxa a a axx???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? (1) 令 1121=nnnknknkxxxx???????????????????????? 1 2 1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 kka a a aA???????????? 121=nnnknknkxxxx?????????????????????? 則 (1) 式寫成 1n k n kA??? ? ?? 由上式遞推得 21 1 1nkn k n k n kA A A? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 于是 nx 就歸納為求 1nk??? ,也就是求 nkA? 例 4 對于數(shù)列 ??nx ，如果已知 1 2 31, 2, 3x x x? ? ?,并且通項 nx 滿足 1 2 322n n n nx x x x? ? ?? ? ?則求通項公式 nx 。 解：令 211165n n nnnx x xxx????? ? ??? ?? 取 1610A ???????0 50B ??????? 2 60EA? ? ?? ? ? ? ? 得 1232??? ??， ,即 A 有兩個不相等的特征根。韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項中的應用 第 4 頁 共 18 頁 解：設 1 4 20 3 4043A????????由 ( 1 ) ( 5 ) ( + 5 )EA? ? ? ??? 得 A 的特征根為 5，對應的特征向量分別為： ? ? ? ?? ?1, 0 , 0 2 ,1 , 2 1 2 ,1， ，則有實可逆矩陣 1 2 10 1 20 2 1Q????????,使得1155Q AQ?????????，其中 1 5 0 50 1 20 2 1Q ?????????? 所以11 1 111 0 0 1 2 1 1 0 0 5 0 50 5 0 = 0 1 2 0 5 0 0 1 20 0 5 0 2 1 0 0 5 0 2 1nnnnA Q Q?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 當 n 為偶數(shù)時，221 2 2221 4 5 3 5 10 3 5 4 50 4 5 3 5nnn n nnnA??? ? ?????? ? ???? ? ? ????? 當 n 為奇數(shù)時，11111 0 5 10 5 00 0 5nnnnA???????????? 所以 111221 1 1+( 5 1 ) ( )+ 4 5 + ( 3 5 1 ) ( )nn nnx z nxx y z n???? ??? ?? ? ???為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) 1 122115 ( ) 3 5 + 4 5 ( )nn nnynyy z n?????? ?????為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) 1 122115 ( )4 5 + 3 5 ( )nn nnznzy z n?????? ?????為 奇 數(shù)為 偶 數(shù) 利用矩陣的方法求二階線性遞推數(shù)列的通項公式 設數(shù)列 ??nx 滿足： 21=n n nx x x? ? ????? ( 1,2,3, )n? （ 1）韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項中的應用 第 5 頁 共 18 頁 （已知 12xx， ， ? ? ?， ， 為常數(shù)，且 0?? ），求通項 nx 其中（ 1）式可寫成 ： 2111( 1 , 2 , 3 ,n n nnnx x x nxx ? ? ?????? ? ?? ?? ?? ） （ 2）令 2 21 1 011 10= , = .1 0 0 0 1nn nx xB B A B Exx ? ? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ， ， ， 則 （ 2）式可表示如下： 10nnB AB B? ?? ( 1, 2,3, )n? （ 3） 由遞推方法知： 1 2 310+ ( )n n nnB A B A A A E B? ? ?? ? ? ? ? 則求通項問題就歸結(jié)為求矩陣 A 的方冪，這可應用矩陣的理論解決， 求出 A 的 特征多項式為 2 1 aE A a??? ? ? ???? ? ? ? ? 記 2 4???? ? (1) 0?? 時 ,方陣 A 有兩個不相等的特征根 12,?? 此時 A 可對角化 ,為了方便，可以取相應的特征向量 : 2121,1XXa???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 且取 21 1T a?????? ?????則 1 1200A T T? ? ???? ???? ， 即 11200nnnA T T? ? ???? ???? ， 12 111 1 110122 2 20 + + 1 00 0 + + 1nnnnnB T T B T T B? ? ?? ? ??? ????? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ? 11 1 0 0= nTJ B TJ T B?? ? 其中 121 1 110122 2 20 + + 1 00 0 + + 1nnnnnJJ? ? ?? ? ??????? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ?， (2) 0?? ,方陣 A 有兩個相等的特征根 12? ? ???韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項中的應用 第 6 頁 共 18 頁 取 10,1T c??????? (其中2c ????) 則 1110 2,1 02T T A T Bc? ???????????????? ? ? ????? 1A TBT ??? ， 即 10 0200 202nnA TB T B E H?? ? ?????????? ? ? ? ???? ? ? ?????， 注意到 : 0 0 ( 2 )00nnHn???? ? ????? 0 1 1 1( ) ( )22( ) ( )2 2 20 ( )2nnnn n n n nnnnnB E H C E C E H?? ?? ? ????????????? ? ? ? ? ????? ???? 1 1 2 110= + ( )nnnB TB T B T B B E T B? ? ? ?? ? ? ?2211111110 2111 ( )( ) ( 1 ) ( ) 22220 ( ) 012 2nniinniinniiinT T B T T B???