【正文】 parison of several methods, the matrix transformation and superiority, polynomial greatest mon divisor finally, the preparation of the C language program, to deal with the equivalent matrix transform method, so as to obtain the polynomial greatest mon divisor. Key words: The greatest mon divisor Matrix transformation Contrast Superiority C language 1 多項式理論 是古典 代數(shù)的主要內(nèi)容 ,多項式的研究 ,源于“代數(shù)方程求解” ,是最古 老數(shù) 學(xué)問題之一 . 現(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù) ,一般包括兩部分：多項式代數(shù)、線性代數(shù)初步 .這說明多項式理論在高等代數(shù)里具有不可忽視的作用 .事實上 ,我們在中學(xué)也已經(jīng)對 多項式有所接觸 ,從最初的方程開始 ,都是多項式的形式 .大學(xué)里學(xué)的多項式中的整 除性理論、最大公因式、重因式 、 分解的唯一 ,這些都是中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容的提升 .我們之所以要學(xué)習(xí)多項式 ,就是因為其不僅在數(shù)學(xué)理論上具有不可替代的作用 ,還因為多項式是一類最常見、最簡單的函數(shù) ,它的應(yīng)用非常廣泛 . 最大公因式在多項式理論中又具有很重要的作用 ,很多涉及到多項式的問題都會或多或少涉及到最大公因式的求解 ,例如 ,求解代數(shù)方程組、判斷多項式間的互素問題等 .因此 ,研究多項式的最大公因式是很有必要而且很有意義的 . 目前也有很多人在研究了最大公因式的求解方法；有利用輾轉(zhuǎn)相除法、輾轉(zhuǎn)相減法、等效變換法、但利用矩陣初等變 換的較多 .利用 矩陣初等變換 方法 的大致相同 ,主要就是初等行變換 ,可見文獻(xiàn) [1]— [8],都是從矩陣的初等變換性質(zhì)做了一些工作來求解最大公因式 . 多項式 矩陣的 初等變換指的是多項式環(huán) ][xP 上的以下 3 種 變 換： 1. 互換多項式矩陣中兩行的位置； 2. 以 ][xP 中一個零次多項式乘矩陣的某一行； 3. 把 矩陣 的某一行的 )(xp 倍加 到另一行 上 ,這里 )(xp 是 ][xP 中的任意一個多項式． 以上 3 種初等行變換對應(yīng) 3 類初等矩陣 ,除第 3 種情況外 ,其余 兩 類與數(shù)域 P上的初等矩陣相同 ,而第 3 類只需將數(shù)域 P 上的初等矩陣中的 p 換為 )(xp 即可． 本文首先在研讀了大量的求解最大公因式的有關(guān)解法的基礎(chǔ)上 ,理清了求最大公因式各種方法的優(yōu)缺點 ,基本把握了同時求多個多項式的最大公因式的初等變換法 ,對初等變換法有了 一定 的認(rèn)識 .運用實例進(jìn)行對比 ,并通過具體實例分析 ,得出在不需要求解系數(shù)多項 式時 ,初等變換顯得有些多余 ,此時最好用等效變換法 ， 而且等效矩陣可以用計算機程序來處理 ,顯得十分 方便 . 最大公因式的定義 2 定義 [10]如果多項式 )(x? 既是 )(xf 的因式 ,又是 )(xg 的因式 ,那么 )(x? 就是)(xf 與 )(xg 的一個公因式 [10]. 定義 [10]設(shè) )(xf , )(xg 是 ][xP 中兩個多項式 . ][xP 中多項式 )(xd 稱為)(xf , )(xg 的一個最大公因式 ,如果它滿足下面兩個條件： 1. )(xd 是 )(xf , )(xg 的公因式； 2. )(xf , )(xg 的公因式全是 )(xd 的因式 . 在公因式中占有特殊重要位置的就是最大公因式 ,對于最大公因式的求解方法有很多很多 ,在我們最先接觸的就是解決最大公因式的存在問題 ,我們主要根據(jù)帶余除法對最大公因式 存在性進(jìn)行證明 ,詳見參考文獻(xiàn) [10]. 法求多項式的最大公因式 定理 [10]設(shè) F 是一個數(shù)域 , ][xP 為數(shù)域 F 上的一元多項式環(huán) ,如果多項式)(xf , )(xg 的最大公因式為 )(xd ,則存在 ][)()( xPxvxu ?， 使得： )()()()()( xgxvxfxuxd ?? 成立 ,且稱多項式 )(xu , )(xv 是最大公因式 )(xd 的系數(shù)多項式 . 利用輾轉(zhuǎn)相除法求出 )(xd ,再反帶回去求 )(xu , ()vx ,這樣做在當(dāng) )(xf , )(xg次數(shù)高的時候就很難 ,而且極易出錯 ,還有一個不足之處就是當(dāng)我們要求的是多個多項式時 ,即：對于任意 n 個一元多項式： ][)()()()( 321 xPxfxfxfxf n ??， ,在 ][xP中存在最大公因式： )(xd 及 nixu i ,2,1)( ??， .使得 : )()()()()()()( 2211 xdxuxfxuxfxuxf nn ???? ? 成立 .輾轉(zhuǎn)相除法求 )(xu 、 )(xv 就比較繁瑣了 ,對于多個多項式的最大公因式就更繁瑣了 ,要先求出 )(),( 21 xfxf 的最大公因式 )(1xd ；再求出 )(),( 31 xfxd 的最大公因式 )(2 xd ,? ,依此 下去最后 )(),(2 xfxd nn? 的最大公因式 )(1 xdn? ,此時1( ) ( )nd x d x? ? ,用此方法求最大公因式就如此復(fù)雜 ,至于求 nixu i ,2,1)( ??， 就更是難上加難了 . 定義及基本性質(zhì) 本文以 ][xP 表示數(shù)域 p 上的一元多項式環(huán) . 3 定義 以 ][xP 中的一元多項式為元素的矩陣稱為多項式矩陣 .設(shè)][)()()( 21 xPxfxfxf n ??， 的 n 個一元多項式 ,規(guī)定符號： 12( ( ), ( ), , ( ))nf x f x f x表示這 n 個一元多項式的最高系數(shù)為 1 的最大公因式 )(xd .則有以下性質(zhì) [8]: 性質(zhì) ： njixfxfxfxfxf xfxfxfxfxf nij nji ???? 1))(,),(),(,),(),(( ))(,),(),(,),(),(( 21 21 ，??? ??? 性質(zhì) ： .,0,1))(,),(,),(),(( ))(,),(,),(),(( 21 21 Pcixfxcfxfxf xfxfxfxf ni ni ????? ，?? ?? 性質(zhì) ： Pcjixfxfxcfxfxfxfxfxfxfxfxfnjjinji???????,0,1))(,),(),()(,),(),(())(,),(),(,),(),((2121，?????? 由性質(zhì) 2 和性質(zhì) 3 可得以下推論 1 推論 Pcjixfxfxcfxfxfxfxfxfxfxfxfnjjinji???????,0,1))(,),(),()(,),(),(())(,),(),(,),(),((2121，?????? 多項式矩陣的初等變換 [10]： 1. 矩陣的 兩行 （列）互 換位 置； 2. 矩陣的某一行（列 ） 乘以非零常數(shù) c ； 3. 矩陣的某一行加另一行的 )(x? 倍；其中 )(x? 是一個多項式 . 多項式矩陣的性質(zhì)： 性質(zhì) ： 每個可逆的多 項式矩 陣都可以表示成一些多項 式初 等矩 陣的乘積； 性質(zhì) ： 對一個多項式矩陣施行 初 等 變 換 ,不 改變每個列向量的多項式的最大公因式； 性質(zhì) ： 設(shè) A 為多項式矩陣 ,則存在可 逆的多 項式矩陣 P ,使 得 PA 為 階梯型矩陣 . 4 綜上可得：交換兩個多項式的位置 ,不改變其最大公因式；將某一多項式乘以一個不為零的常數(shù) ,不改變最大公因式；將某一項的 c 倍 0?c ,加到另一個多項式上 ,不改變其最大公因式 ,對比矩陣的初等變換 ,上述性質(zhì)恰好都滿足 矩陣初等變換法 規(guī)定 ：下文 中的 ))(( ixg 表示 將前一個 矩陣的第 i 行乘以 )(xg ,