【正文】 本 科 畢 業(yè) 論 文 矩陣變換在求多項式最大公因式中的應(yīng)用 院 系 : 數(shù)學(xué) 科學(xué)學(xué)院 學(xué) 科： 理 學(xué) 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 指導(dǎo)老師： **** 2021 年 6 月 目錄 摘要 ............................................................. I ABSTRACT ........................................................ II ........................................................... 1 2. 公因式及最大公因式的定義 ...................................... 1 3. 輾轉(zhuǎn)相除法求多項式的最大公因式 ................................ 2 4. 矩陣變換求多項式的最大公因式 .................................. 2 定義及基本性質(zhì) ................................................ 2 矩陣初等變換法 ................................................ 4 等效矩陣變換法 ................................................ 5 5. 用 C 語言處理等效矩陣變換法 .................................... 5 6. 應(yīng)用舉例 ...................................................... 5 .......................................................... 13 ...................................................... 14 .......................................................... 15 ......................................................... 18 I 矩陣變換在求多項式最大公因式中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 賀俊丞 摘要 在參閱了許多相關(guān)文獻(xiàn)的 基礎(chǔ) 之上 ,通過歸納總結(jié)出怎樣運用矩陣變換來求多項式 的 最大公因式 ,并且 得出幾種求多項式最大公因式的方法 ,在解題過程中 ,通過 幾種 解 法的對比 ,體現(xiàn)了矩陣變換求多項式最大公因式的優(yōu)越性 ,最后 ,編寫了 C 語言程序 ,來處理等效矩陣變換法 ,從而求得多項式的最大公因式 . 關(guān)鍵詞 ： 最大公因式 矩陣變換 對比 優(yōu)越性 C 語言 II Application of matrix transformation in obtaining the greatest mon divisor of polynomial Institute of Mathematics Mathematics and Applied Mathematics He Juncheng ABSTRACT After reading many literatures based on the summed up, the greatest mon factor of how to use the matrix transformation to polynomial, and the several methods for polynomial greatest mon factor, in the problem solving process, through the parison of several methods, the matrix transformation and superiority, polynomial greatest mon divisor finally, the preparation of the C language program, to deal with the equivalent matrix transform method, so as to obtain the polynomial greatest mon divisor. Key words: The greatest mon divisor Matrix transformation Contrast Superiority C language 1 多項式理論 是古典 代數(shù)的主要內(nèi)容 ,多項式的研究 ,源于“代數(shù)方程求解” ,是最古 老數(shù) 學(xué)問題之一 . 現(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù) ,一般包括兩部分：多項式代數(shù)、線性代數(shù)初步 .這說明多項式理論在高等代數(shù)里具有不可忽視的作用 .事實上 ,我們在中學(xué)也已經(jīng)對 多項式有所接觸 ,從最初的方程開始 ,都是多項式的形式 .大學(xué)里學(xué)的多項式中的整 除性理論、最大公因式、重因式 、 分解的唯一 ,這些都是中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容的提升 .我們之所以要學(xué)習(xí)多項式 ,就是因為其不僅在數(shù)學(xué)理論上具有不可替代的作用 ,還因為多項式是一類最常見、最簡單的函數(shù) ,它的應(yīng)用非常廣泛 . 最大公因式在多項式理論中又具有很重要的作用 ,很多涉及到多項式的問題都會或多或少涉及到最大公因式的求解 ,例如 ,求解代數(shù)方程組、判斷多項式間的互素問題等 .因此 ,研究多項式的最大公因式是很有必要而且很有意義的 . 目前也有很多人在研究了最大公因式的求解方法；有利用輾轉(zhuǎn)相除法、輾轉(zhuǎn)相減法、等效變換法、但利用矩陣初等變 換的較多 .利用 矩陣初等變換 方法 的大致相同 ,主要就是初等行變換 ,可見文獻(xiàn) [1]— [8],都是從矩陣的初等變換性質(zhì)做了一些工作來求解最大公因式 . 多項式 矩陣的 初等變換指的是多項式環(huán) ][xP 上的以下 3 種 變 換： 1. 互換多項式矩陣中兩行的位置； 2. 以 ][xP 中一個零次多項式乘矩陣的某一行； 3. 把 矩陣 的某一行的 )(xp 倍加 到另一行 上 ,這里 )(xp 是 ][xP 中的任意一個多項式． 以上 3 種初等行變換對應(yīng) 3 類初等矩陣 ,除第 3 種情況外 ,其余 兩 類與數(shù)域 P上的初等矩陣相同 ,而第 3 類只需將數(shù)域 P 上的初等矩陣中的 p 換為 )(xp 即可． 本文首先在研讀了大量的求解最大公因式的有關(guān)解法的基礎(chǔ)上 ,理清了求最大公因式各種方法的優(yōu)缺點 ,基本把握了同時求多個多項式的最大公因式的初等變換法 ,對初等變換法有了 一定 的認(rèn)識 .運用實例進(jìn)行對比 ,并通過具體實例分析 ,得出在不需要求解系數(shù)多項 式時 ,初等變換顯得有些多余 ,此時最好用等效變換法 ， 而且等效矩陣可以用計算機(jī)程序來處理 ,顯得十分 方便 . 最大公因式的定義 2 定義 [10]如果多項式 )(x? 既是 )(xf 的因式 ,又是 )(xg 的因式 ,那么 )(x? 就是)(xf 與 )(xg 的一個公因式 [10]. 定義 [10]設(shè) )(xf , )(xg 是 ][xP 中兩個多項式 . ][xP 中多項式 )(xd 稱為)(xf , )(xg 的一個最大公因式 ,如果它滿足下面兩個條件： 1. )(xd 是 )(xf , )(xg 的公因式； 2. )(xf , )(xg 的公因式全是 )(xd 的因式 . 在公因式中占有特殊重要位