矩陣的秩及其應用畢業(yè)論-文庫吧資料
2025-06-12 04:50本頁面
【正文】 3 ) 1 1 1111???? ? ?? 21 1 1(3 ) 0 0 (3 )00? ? ? ??? ? ?。 通過矩陣秩的引入，使得方程組與增廣矩陣對應，將 線性方程組的變換抽象成為了矩陣的行變換，把線性方程組的一些重要性質反映在矩陣上，從而使問題變得簡單明了。 例如解線性方程組： 1 2 3 41 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 53 5 4 13 2 2 1234321x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx x x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 將原線性方程組增廣矩陣進行初等變換 1 3 5 4 0 11 3 2 2 1 11 2 1 1 1 31 4 1 1 1 31 2 1 1 1 1A????? ????? ? ????? ???? 1 3 5 4 0 10 0 3 2 1 20 5 4 3 1 20 7 4 5 1 20 1 4 3 1 2????????? ? ?? ? ???? ? ??? 1 3 5 4 0 10 0 3 2 1 20 5 7 5 0 00 7 7 7 0 00 1 1 1 0 0???????????????? 湖北師范大學文理學院 2021屆學士學位論文 6 1 0 2 4 0 10 0 3 2 1 20 0 2 0 0 00 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0??????????????? 1 0 0 1 0 10 0 0 2 1 20 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0?????????? 11 0 0 0 1210 0 0 1 120 0 1 0 0 00 0 0 0 0 010 1 0 0 12???????? 11 0 0 0 0210 1 0 0 120 0 1 0 0 010 0 0 1 120 0 0 0 0 0????????。 湖北師范大學文理學院 2021屆學士學位論文 5 3. 秩在線性代數(shù)中的應用 在求解線性方程組中的應用 線性方程組的解是線性代數(shù)的核心問題，要解決解的判定，解的個數(shù)和如何求出的問題，可以建立方程組解的判定和矩陣秩之間的關系，從而將方程組問題轉化為矩陣秩的問題，可以降低線性方程組解的判定。 只需證 ()RA r? 即可。注意，由于 12, , ,T T Tma a a 被12, , , rT T Ti i ia a a線性表出的系數(shù)是唯一的，且12, , , rT T Ti i ia a a被12, , , rT T Ti i ia a a表出的系數(shù)恰好是 P 陣的 第 12, , , ri i i 行，且分別為 ( 1 , 0 , 0 , , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , , 0 ), , ( 0 , 0 , 0 , , 1 ),即 P 有 r 行線性無關，其余各行都可以由這 r 行線性表出，所以 R(P)=r 。 顯然 Q 為行滿秩 r 的矩陣。 (1)? (13).由 ()RA r? ， mnAF?? ，則 A 的行向量組有一個極大無關組，不妨設12, , , rT T Ti i ia a a ，從而： 12, , ,T T Tma a a湖北師范大學文理學院 2021屆學士學位論文 4 1212121 1 1 2 112 1 2 2 2212rrrT T TTi i r iT T TTi i r iT T T Tm m i m i m r ia a a a a aaa a a a a aaAa a a a a a a??? ? ???????? ? ????????????? ? ? ??? ?? 121 1 1 2 12 1 2 2 212rTirTirTm m m r iaa a aaa a aa a a a???????????????????????。 (1)? (12).設 A 的列向量組為 12, , , m? ? ? ，則 12, , , Im T? ? ? ??線性方程組 AX ?? 有解 12, , , n? ? ? ??? ,這里 12, , , n? ? ? 表示 12, , , n? ? ? 生成空間 [1] 。 (1)? (9)的證明和 (1)? (8)類似。 (1)? (7)的證明和 (1)? (6)類似。 (1)? (6).設12mTTTaaAa???????????????， Tia 為行向量 .由于 ()R A r? ，由命題（ 2）知存在 r階子式 0rD? ，且所有 1 0rD? ? ，既有 rD 所在的 r 行線性無關，且任意 1r? 個行向量都線性相關，因此 rD 所在的 r 行是 A 的行向量組的一個極大無關組，從而 A的行向量組的秩為 r 。 (1)? (5).因為 ()R A r? ，故可將 A 經過一系列的初等變換可化為 0 ,00rE??????而這一些列的初等變換等價于存在 m 階初等陣 12,SP P P 和 n 階初等陣1 2 3 tQ Q ，使得： 12, SP P PA12 000rt EQ Q Q ??? ???? 令 1 2 3 sP PP P P? ， 1 2 3 tQ Q Q Q Q? ，由初等陣可逆知 ,PQ可逆。 13)存在 m
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