【正文】 ?Ker AB dim? ? ?mI AB ? ??r AB 方法 7,用塊的初等變換 0000??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A B A BE B E E 又 由于 00() （ ）? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?AArrE B E E,事實(shí)上 B 的列向量可 由 E 的列向量線性表 示 ,所以 0??????AEB列向量可 用 0??????AEE線性表示 . 因此 , ? ? ? ?00()0?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A B Ar A B n r r r A nE E E, 故 ? ? ? ??r AB r A ,同理可證 ? ? ? ??r AB r B 方法 8,因?yàn)?? ? ? ?, 0 ,0???????EBA A A BE, 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?, , 0? ? ?r A B r A A B r A r A. 因?yàn)?00? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?E B BA E AB,所以 ? ? ( ) ( ) r ( )0? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?BBr A B r r BAB. (4) ? ? ? ? ? ?, ??r A B r A r B. 證明 :方法 1,設(shè) ? ??r A r ,即 A 的列向量的極大無關(guān)組含 r 個(gè)向量 .所以 ,做列的初等變換可使 A 除去 r 列外 都 為零 。設(shè) ,AB分別是 ?mr和 ?rn型矩陣 ,則有 ? ? ? ? ? ?? ? ?R A B R A R B r,由此可知 ? ?R A r . 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 11 (Ⅰ ) 設(shè) A 為 mn? 階矩陣 , (1) ? ? ? ?? Tr A r A . (2) ? ? ? ? 0 00 ??? ? ?? krAr kA k. (3) ? ? ? ??r A r A . (4) ? ? ? ?? ?? ?1 1 0 1當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)??????? ??kn r A nr A r A nr A n. (5)設(shè) P 是 m 階可逆陣 ,Q 是 n 階可逆陣 ,則 ? ? ? ? ? ???r P A r A Q r A. (6) ? ? ? ??Tr A r A 。 ? 存在 mr? 型的列滿秩 矩 陣 P 和 rn? 型的行滿秩 矩 陣 Q ,使 A PQ? 成立 . ? 存在 r 個(gè)線性無關(guān)的 112, , , nr F? ? ? ??,r 個(gè)線性無關(guān)的 112, , , mm F? ? ? ??,使得 1 1 2 2 rrA ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 證明 :由秩的定義易知 (1)? (2)? (3)? (4). (1)? (5).因?yàn)?? ??R A r ,故可將 A 經(jīng)過一 系列的初等變換可化 成 000??????rE.然而這一系列的初等變換可以用 m 階初等矩陣 12, , , tP P P 和 n 階初等矩陣 12, , , sQ Q Q 表示 ,使得 2 1 1 2 000rts EP P P A Q Q Q ??? ????, 令 2 1 1 2,tsP P P P Q Q Q Q??,由初等變換矩陣可逆知 : ,PQ可逆 . (1)? (5).由 ,PQ為可逆矩陣 ,使得 000???????rEPAQ,得 11000????? ????rEA P Q,這相 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 9 當(dāng)于 A 由 000??????rE經(jīng)過一系 列 的初等變換而得 。 ? 設(shè) n 維線性空間 V 的一個(gè)基為 12, , , n? ? ? ,m 維線性空間 W 的一個(gè)基為 12, , , m? ? ? ,從 V 到 W 的線性映射 T 的矩陣為 A , 即 ? ? ? ?1 2 1 2, , , ? ,? , , ?? ? ? ? ? ??nmTA,則 T 的 像空間 mIT的維數(shù) 是 r 。 ? 方程組 0AX? 含 有 r 個(gè)獨(dú)立的方程 ,剩下的 方程是這些方程的線性組合 。 ? r 是 A 的行空間 的維數(shù) 。 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 8 ? 存在 m 階可逆矩陣 P 和 n 階可逆矩陣 Q ,使得 000rEPAQ ??????? ? A 的行向量組的極大 線性 無關(guān)組所 含 的向量個(gè)數(shù) 是 r 個(gè) 。 ? A 中有一個(gè) r 階子式不 等于 零 ,所有 +1r 階子式 都等于 零 。 矩陣列向量的秩 被稱為 矩陣的列秩 . (6)向量組的線性極大無關(guān)組 中 所 具有 向量的個(gè)數(shù) 被 稱為這個(gè)向量組的秩 . 矩陣秩的求法 子 式判別法 (定義 ) 例 設(shè)階梯形 的 矩陣 1 2 3 40 2 7 00 0 0 0B???????,求 ? ?RB. 解 由于1 12 002B ??,存在一個(gè)二階子式不 等于 0 ,然 而任何三階子式 都等于0 ,則 ? ? 2RB? . 結(jié)論 :階梯形矩陣的秩 就是非零行的行數(shù) . 例如 1 2 3 00 1 0 10 0 1 0A???????, 120100B?????????, 1 1 00 1 00 0 1C???????, 1 2 50340 0 0D???????, 2 1 2 30 8 1 500070 0 0 0E????? ????. 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 , 2 , R 3 , 2 , 3R A R B C R D R E? ? ? ? ? 一般地 ,行階梯形矩陣的秩 就是 其“非零行的行數(shù)” 也被稱為 “臺(tái)階數(shù)” . 例 設(shè) 111111???????aAaa,如果 ? ? 3RA? ,求 a 解 ? ? 3RA? ? ? ? ? 2a 1 11 1 = 2 1 011? ? ? ?A a a aa. 1a??或 2a?? . 用初等變換法求矩陣的秩 定理 1[6] 矩陣 初等變換不變 更 矩陣的秩 ,即 AB? 則 ? ? ? ?R A R B? 注 1) ijrr? 只 變更此 行列式的符號(hào) . 2) ikr 是 A 中對(duì)應(yīng) 行（或列 ） 的 k 倍 . 3) ?ijr kr 是 將行列式的某一行（列 ） 的全部元素的 k 倍加到另一行（列）的 相對(duì)應(yīng)元素上 . 求矩陣 A 的秩方法 1)矩陣 A 可 利用初等行變換 化 為 階梯形矩陣 B . 2)階梯形矩陣 B 非零行的行數(shù) 被稱為 矩陣 A 的秩 . 例 1 0 2 42 1 3 61 1 1 2A???????求 ? ?RA. 21 21 0 2 4 1 0 2 4 1 0 2 42 1 3 6 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0?? ???? ?rrA ? ? 2RA? 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 7 矩陣的相關(guān)定理 (1) BiCauchy 定 理 [7] 設(shè) A 和 B 分別為 ?nm和 ?mn矩陣 ,如果 ?nm,則有 1121 1212|| 12? ? ? ??? ??? ?? ???????nni i m nn i i iA B A Bi i i n, 其中1212??????nnA i i i表示 A 的第 1,2, ,n 行和第 12, , , ni i i 列所決定的子式 . (2)Laplace 定理 [8] 若 A 為 n 階方陣 ,對(duì)任意選定的 k 行 12, , , ki i i ,則有 1111 2 1 21 1 2 1 2 1 212| | ( 1 ) ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? kknkki i j jj j n k k ni i i i i i nA A Mj j j j j j i i i 其中 1212??????kki i iM j j j表 示 1212??????kki i iA j j j的余子式 . (3)維數(shù)定理 [9] ? ?3 1 2 1 2 1 2 dim dim dim dim (d )im? ? ? ? ?W W W W W W W 設(shè) mnAF?? ,那么 A 的非零子式的最高階數(shù) r 被 稱為矩陣 A 的秩 ,用 ? ?RA表示 ,以下是 矩陣秩的 等價(jià) 描寫 的一組命題 [1]. 設(shè) mnAF?? ,則 ? ??r A r , ? A 中不為零 子式的最大階數(shù)是 r 。 1 , 2 ,??ija i m j n排 列 成的 m 行 n 列數(shù)表 ,記 做 11 12 121 22 212nnm m m na a aa a aAa a a????????? 稱為 mn? 矩陣 ,還 可以記成 ? ?ij mna ?或 mnA? 等 . 設(shè) ? ?ij msAa??是 ms? 的一個(gè)矩陣 , ? ?ij snBb??是一個(gè) sn? 的矩陣 ,將 A 和 B 的乘積 稱 為 ? ?ij mnC AB c ???,其中 1 1 2 2 2 1sij i j i j is s ik k jkc a b a b a b a b?? ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 。 Equivalent Characterization。等價(jià)刻畫 Several Equivalent Characterizations of Matrix Rank Abstract From the Determinant, Linear Space, Linear Equations, Linear Tr