【正文】 ansformation, Offset Standard, Vectors, Matrices, equivalence and deposition of various angles to characterize the Rank of Matrix, and thus to prove these propositions and Rank of the Matrix relating to a number of propositions. Key Words： Matrix。 編號(hào) 學(xué)士學(xué)位論 文 矩陣的秩的若干等價(jià)刻畫 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 系 部 專 業(yè) 年 級(jí) 指導(dǎo)教師 完成日期 年 月 日 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 1 摘要 本文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變 化 、相抵標(biāo)準(zhǔn)型、向量、矩陣的等價(jià)及分解等各個(gè)角度來(lái)刻畫矩陣的秩 ,進(jìn)而用這些命題來(lái)證明與矩陣的秩有關(guān)的一些命題 . 關(guān)鍵詞 :矩陣 。秩 。 Rank。 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 2 目 錄 摘要 ............................................................. 1 ABSTRACT ......................................................... 1 引言 ............................................................. 3 ....................................................... 3 矩陣的基本概念 .............................................. 3 矩陣秩的求法 ................................................ 5 矩陣的相關(guān)定理 .............................................. 7 ............................................. 7 (Ⅰ ) .............................................. 11 (Ⅱ ) .............................................. 12 .......................................................... 21 參考文獻(xiàn) ........................................................ 24 致謝 25 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 3 引言 矩陣的秩是線性代數(shù)的一個(gè) 根 本內(nèi)容 ,它 形容 了矩陣的一個(gè)計(jì)算特征 ,也是矩陣的重要性質(zhì)之一 .在 區(qū)分 向量組的線性相關(guān)性 ,求矩陣的特征值 ,線性方程組 有無(wú)解 ,在多項(xiàng)式 ,維數(shù)空間以及空間幾何中等各個(gè)層次都有普遍的作用 .之前 高朝邦和祝宗山在論文 [1]中寫了矩陣的秩的等價(jià)描述的命題 ,并給出了 相關(guān)的 證明 . 本文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變換、相抵標(biāo)準(zhǔn)型、向量、矩陣的等價(jià)及分解等各個(gè)角度來(lái) 描寫 矩陣的秩的若干命題 ,并用這些命題來(lái)證 實(shí) 與矩陣的秩有關(guān)的一些命題 .希望 通過(guò)這些等價(jià)命題加深對(duì)線性代數(shù)的理解 ,對(duì)更好的掌握矩陣的秩的這一層次的理解起到幫助 ,使之在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到啟發(fā) . 矩陣的 基本概念 定義 [2] 數(shù)域 P 中 mn? 個(gè)數(shù) ? ?1 , 2 , , 。 1 , 2 , ,i m j n?? 負(fù)矩陣 令 ? ?ij mnAa??,則 A 的負(fù)矩陣為 ? ?ij mnAa?? ? ?. 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 4 矩陣減法 ? ? ? ?ij ij mnA B A B a b ?? ? ? ? ? ?. 定義 [3] 設(shè) ? ?ij mnAa??,數(shù) ? 與矩陣的乘積 A 被 記為 A? ,根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算 ,顯然有 ? ?ij mnAa???= 注 :矩陣的加法運(yùn)算、數(shù)乘矩陣運(yùn)算 都 稱為矩陣的 線性運(yùn)算 ,它們與行列式 的運(yùn)算 定義區(qū)別很大 . 矩陣的 線性運(yùn)算 滿足下 列 八條運(yùn)算律 (設(shè) , , ,ABCO 皆 是同型矩陣 , ,??,為數(shù) ). (1)矩陣加法的交換律 : A B B A? ? ? (2)矩陣加法的結(jié)合律 :? ? ? ?A B C A B C? ? ? ? ? (3 右加零矩陣律 : A O A?? (4)右加負(fù)矩陣律 : ? ? A A O? ? ? (5)1 乘矩陣律 :1AA? (6)數(shù)乘矩陣的結(jié)合律 : ? ? ? ?=AA? ? ?? (7)矩陣對(duì)數(shù)加法的分配律 :? ? A A A? ? ? ?? ? ? (8)數(shù)對(duì)矩陣加法的分配律 : ? ?A B A B? ? ?? ? ? 定義 [4] k 階子式 :設(shè) ? ?ij mnAa??在 A 中任 意 取 k 行 k 列交 錯(cuò) 處 的 元素 ,然后 按原 來(lái) 相應(yīng) 位置 組 成的 ? ?1 m in{ , }??k k m n階行列式 ,被 稱為 A 的一個(gè) k 階子式 . 例 1 2 3 14 5 6 21 0 1 1A???????共有 2234 433 1 82CC ?? ? ?個(gè)二階子式 ,并含 有 4 個(gè)三階子式 ,矩陣 A 的第一、三行 ,第二、 四列交 錯(cuò) 處的元素所 形 成的二階子式為 2 2 10 1D ?,而31 2 34 5 61 0 1D ??為 A 的一個(gè)三階子式 .因而 ,m?n 矩陣 A 總 共有 kkmnCC個(gè) k 階子式 . 定義 [5] 令 ? ?ij mnAa??有 r 階子式不為 0 ,任 意 1r? 階子式 (若存在的話 )全 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 5 為 0 ,則 r 被 稱為矩陣 A 的秩 ,可記 成 ? ?RA或 ? ?rank A 或秩 ??A . 規(guī)定 :零矩陣的秩為 0 . 注意 :(1)例 如 , ? ?R A r? ,則 A 中至少有一個(gè) r 階子式 0rD? ,全部 1r? 階子式等于 0 ,且更高階 子式均為 0 ,那么 r 是 A 中不 等于 零的子式的最高階數(shù) . (2) ? ? ? ?TR A R A? . (3) ? ? ? ? , ?R A m in m n. (4)若 nnA? 且 0A? ,則 ? ?R A n? .反之 ,如 ? ?R A m? ,則 0A? 因此 , ? ?R A n? 是方陣 A 可逆的充要條件 . (5) 矩陣行向量的秩 被稱為 矩陣的行秩 。 ? A 中 有一個(gè) r 階子式不 等于 零 ,所 有 +1r 階子式 都等于 零 。 ? A 等價(jià)于 000rE??????。 ? A 的列向量組的極大 線性 無(wú)關(guān)組所 含 的向量個(gè)數(shù) 是 r 個(gè) 。 ? r 是 A 的列空間的維數(shù) 。 ? 方程組 0AX? 的解空間的維數(shù) 為 nr? 。 ? 設(shè)有線性映射 A ? ?, dimnm mF F X A X I A r??， 。又 因?yàn)?矩陣的秩不會(huì)由 初等變換 而改變 ,所以 ? ??R A r . (1)? (6).設(shè)12????????????????TTTmA ,?Ti 為行向量 ,由于 ? ??R A r ,由命題 (2)知存在 r 階子式0?rD ,且所有 1 0? ?rD ,即有 rD 所在的 r 行線性 不相 關(guān) ,且任意 1?r 個(gè)行向量都線性相關(guān) ,因此 A 的行向量 組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組就是 rD 所在的 r 行 ,從而 A 的行向量組的秩為 r . (1)? (6).由 A 的行向量組的秩為 r ,依 據(jù)向量組線性無(wú)關(guān)的條件 可 知 ,這 r 個(gè)行向量所在的行的 r 階子式不為零 ,且 全部 1?r 階子都為零 ,故 ? ??R A r . (1)? (7)的證明和 (1)? (6)的證明 類似 . (1)? (8)設(shè) A 的行向量組為 12, , ,? ? ?T T Tm ,由它們所生成的行空間為 : ?? 1 1 2 2 1 2, , , , , ,? ? ? ? ? ? ? ? ???T T Tm m mLR 顯然 從以上可得 :行向量空間的維數(shù)與行向量組 12, , ,? ? ?T T Tm 的秩相等 . (1)? (9)的證明和 (1)? (8)相似 . (1)? (10).矩陣的初等 變換的過(guò)程實(shí)際上可以看 作 是解方程組 0?AX 的過(guò)程 ,等價(jià)性顯然成立 . (1)? (11).由方程組 0?AX 的 解空間的一個(gè)基 就是 方程組 0?AX 的 基礎(chǔ)解系可知命題是成立的 . (1)? (12).設(shè) A 的列向量組是 12, , , m? ? ? ,那么有 ???mIT 線性方程組 ??AX 有解 ? ? ?12 , , , m? ? ? ?? ,這的 ? ?12, , , m? ? ? 說(shuō) 的是 12, , , m? ? ? 的生成空間 .因此 ? ?12, , ,mmIT ? ? ?? ,從而 mIT的維數(shù)與 ? ?12, , , m? ? ? 的維數(shù)相等 .而由 (9)知? ?12, , , m? ? ? 的維數(shù)與 ? ?RA一樣 ,故命題成立 . 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 10 (1)? (13)由 ? ? , ??? mnR A r A F,則 A 的行向量組有一個(gè)極大無(wú)關(guān)組