矩陣的秩及向量組的極大無(wú)關(guān)組求法-展示頁(yè)
2024-10-27 18:11本頁(yè)面
【正文】 秩 ， 故 A可逆 . 下頁(yè)《 線性代數(shù) 》 下頁(yè) 結(jié)束 返回 定義 4 矩陣 A的行向量組的秩稱為矩陣 A的行秩 ， 列向量組的秩 稱為矩陣 A的列秩 . 即 下頁(yè) 向量組方面的一些重要方法 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aa a a?????????A12,m????????????????1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aa a a?????????A行向量組 ?1， ?2， ??? ， ?m的秩，稱為矩陣 A的 行秩 . ? ?12, , , ,n? ? ??列向量組 ?1， ?2， ??? ， ?m的秩，稱為矩陣 A的 列秩 . 定理 3 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩 . 《 線性代數(shù) 》 下頁(yè) 結(jié)束 返回 例 4. 求下列向量組 ?１ =(1, 2, 3, 4)， ?2 =( 2, 3, 4, 5)， ?3 =(3, 4, 5, 6)的秩 . 求向量組的秩的方法 下頁(yè)① 把向量組的向量作為矩陣的 列 （ 或行 ） 向量 組成矩陣 A； ② 對(duì)矩陣 A進(jìn)行初等 行變換 化為階梯形矩陣 B； ③ 階梯形 B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩 ． 解 1： 以 ?１ ,?２ ,?３ 為 列向量 作成矩陣 A， 用初等變換將 A化為 階梯形矩陣后可求 . 324223rrrr??因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為 2， 所以向量組的秩為 2． 213141234rrrrrr???1 2 3234345456????????????1 2 30 1 20240 3 6????????????????1 2 30 1 2000000????????????《 線性代數(shù) 》 下頁(yè) 結(jié)束 返回 例 4. 求下列向量組 ?１ =(1, 2, 3, 4)， ?2 =( 2, 3, 4, 5)， ?3 =(3, 4, 5, 6)的秩 . 解 2： 以 ?１ ,?２ ,?３ 為 行向量 作成矩陣 A， 用初等變換將 A化為 階梯形矩陣后可求 . ????????????????642032104321?????????????00003210432123 2rr ?因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為 2， 所以向量組的秩為 2． 131232rrrr??求向量組的秩的方法 ??????????654354324321下頁(yè)① 把向量組的向量作為矩陣的 列 （ 或行 ） 向量 組成矩陣 A； ② 對(duì)矩陣 A進(jìn)行初等 行變換 化為階梯形矩陣 B； ③ 階梯形 B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩 ． 問(wèn)題： 基本單位向量組的秩是多少 ？ 它們相關(guān) /無(wú)關(guān) ？ 《 線性代數(shù) 》 下頁(yè) 結(jié)束 返回 定理 4 矩陣 A經(jīng)初等行變換化為 B， 則 B的列向量組與 A對(duì)應(yīng)的列向 量組有相同的線性 相關(guān)性 . 證明從略 ,下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立 . ?????????? ?603622111?????????
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