伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-07-03 19:25本頁(yè)面
【正文】 . 伴隨矩陣的特征值設(shè)矩陣；當(dāng)為降秩矩陣時(shí)，那么伴隨矩陣的個(gè)特征值至少有個(gè)為0，而且另一個(gè)不等于零的特征值若存在，則等于.證明 因?yàn)闉闈M秩矩陣，所以為可逆矩陣也即，此時(shí)矩陣的特征值均不為零，且的個(gè)特征值為，再由可得，伴隨矩陣有個(gè)特征值為 ； ①當(dāng)秩 時(shí)，此時(shí)，秩，所以因此 可推得0,0，…,0為伴隨矩陣的特征值此時(shí)結(jié)論成立. ②當(dāng)秩時(shí)，此時(shí)，秩，那么設(shè)的特征值為由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形知，存在可逆矩陣，使得 ， 其中為的全部特征值因?yàn)?，不妨設(shè)則上式為 從而 .例1設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位矩陣，若有特征值，則必有特征值什么?解 由性質(zhì)知，有特征值，必有特征值，從而必有特征值+1. 如果是可逆矩陣，且證明 因?yàn)?，則存在可逆矩陣，使得 把上式兩邊同時(shí)取行列式得， 又由于可逆，故，從而，即也是可逆的，所以， 由，則 因此 因?yàn)?，則把兩端同時(shí)乘以得，所以，.例1設(shè)、為三階相似矩陣，的特征值為1，1，3，求.解 因?yàn)榈奶卣髦禐?，1，3， 故，所以 的特征值為，又因?yàn)?，所以，所?的特征值為3，3，1， 所以. 如果是可逆矩陣，且證明 由題中矩陣合同，因此存在可逆矩陣，使 ，等式兩邊分別取行列式，得 因?yàn)槭强赡婢仃嚕?，從而，而又因?yàn)椋? 令 則= ， 從而 ， 故， 從而 所以，所以也合同. 若是可逆的對(duì)稱矩陣，則它的伴隨矩陣也是可逆的對(duì)稱矩陣 ，它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣； ，則它的伴隨矩陣也是對(duì)角矩陣. 若是上（下）三角矩陣，且是可逆的，則也是上（下）三角矩陣?yán)?設(shè)，故，所以是可逆的，所以是可逆的，且為上三角矩陣. 當(dāng)階實(shí)矩陣是半正定時(shí)，則它的伴隨矩陣也是半正定的證明 由于是半正定的，因此存在實(shí)矩陣，使
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