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伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應用-展示頁

2025-07-03 19:25本頁面
  

【正文】 . 伴隨矩陣的特征值設矩陣;當為降秩矩陣時,那么伴隨矩陣的個特征值至少有個為0,而且另一個不等于零的特征值若存在,則等于.證明 因為為滿秩矩陣,所以為可逆矩陣也即,此時矩陣的特征值均不為零,且的個特征值為,再由可得,伴隨矩陣有個特征值為 ; ①當秩 時,此時,秩,所以因此 可推得0,0,…,0為伴隨矩陣的特征值此時結(jié)論成立. ②當秩時,此時,秩,那么設的特征值為由若爾當標準形知,存在可逆矩陣,使得 , 其中為的全部特征值因為,不妨設則上式為 從而 .例1設為階可逆矩陣,為的伴隨矩陣,為階單位矩陣,若有特征值,則必有特征值什么?解 由性質(zhì)知,有特征值,必有特征值,從而必有特征值+1. 如果是可逆矩陣,且證明 因為,則存在可逆矩陣,使得 把上式兩邊同時取行列式得, 又由于可逆,故,從而,即也是可逆的,所以, 由,則 因此 因為,則把兩端同時乘以得,所以,.例1設、為三階相似矩陣,的特征值為1,1,3,求.解 因為的特征值為1,1,3, 故,所以 的特征值為,又因為,所以,所以 的特征值為3,3,1, 所以. 如果是可逆矩陣,且證明 由題中矩陣合同,因此存在可逆矩陣,使 ,等式兩邊分別取行列式,得 因為是可逆矩陣,所以,從而,而又因為, 令 則= , 從而 , 故, 從而 所以,所以也合同. 若是可逆的對稱矩陣,則它的伴隨矩陣也是可逆的對稱矩陣 ,它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣; ,則它的伴隨矩陣也是對角矩陣. 若是上(下)三角矩陣,且是可逆的,則也是上(下)三角矩陣例1設,故,所以是可逆的,所以是可逆的,且為上三角矩陣. 當階實矩陣是半正定時,則它的伴隨矩陣也是半正定的證明 由于是半正定的,因此存在實矩陣,使
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