伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應用-展示頁
2025-07-03 19:25本頁面
【正文】 . 伴隨矩陣的特征值設矩陣；當為降秩矩陣時，那么伴隨矩陣的個特征值至少有個為0，而且另一個不等于零的特征值若存在，則等于.證明 因為為滿秩矩陣，所以為可逆矩陣也即，此時矩陣的特征值均不為零，且的個特征值為，再由可得，伴隨矩陣有個特征值為 ； ①當秩 時，此時，秩，所以因此 可推得0,0，…,0為伴隨矩陣的特征值此時結論成立. ②當秩時，此時，秩，那么設的特征值為由若爾當標準形知，存在可逆矩陣，使得 ， 其中為的全部特征值因為，不妨設則上式為 從而 .例1設為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位矩陣，若有特征值，則必有特征值什么?解 由性質(zhì)知，有特征值，必有特征值，從而必有特征值+1. 如果是可逆矩陣，且證明 因為，則存在可逆矩陣，使得 把上式兩邊同時取行列式得， 又由于可逆，故，從而，即也是可逆的，所以， 由，則 因此 因為，則把兩端同時乘以得，所以，.例1設、為三階相似矩陣，的特征值為1，1，3，求.解 因為的特征值為1，1，3， 故，所以 的特征值為，又因為，所以，所以 的特征值為3，3，1， 所以. 如果是可逆矩陣，且證明 由題中矩陣合同，因此存在可逆矩陣，使 ，等式兩邊分別取行列式，得 因為是可逆矩陣，所以，從而，而又因為， 令 則= ， 從而 ， 故， 從而 所以，所以也合同. 若是可逆的對稱矩陣，則它的伴隨矩陣也是可逆的對稱矩陣 ，它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣； ，則它的伴隨矩陣也是對角矩陣. 若是上（下）三角矩陣，且是可逆的，則也是上（下）三角矩陣例1設，故，所以是可逆的，所以是可逆的，且為上三角矩陣. 當階實矩陣是半正定時，則它的伴隨矩陣也是半正定的證明 由于是半正定的，因此存在實矩陣，使
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