特殊分塊矩陣的逆與秩-文庫吧資料
2025-05-22 12:02本頁面
【正文】 逆．例如２２分塊矩陣的可逆性存在條件和求逆公式及其應(yīng)用首先我們從最簡單的22分塊矩陣開始研究,如何求22分塊矩陣的逆,用初等變換的方法,.設(shè),A為n階矩陣,B與C分別為nm和mn矩陣,D為m階矩陣.,證明: 由 ∵= 故存在. 由 即 由可逆,可知存在.∵=, 故 存在. ,則M可逆可逆,這時證明方法同定理1,在此略去證明過程.在此,我們還可以得出推論:推論1:若B可逆,則M可逆可逆.推論2:若C可逆,則M可逆可逆.通過以上的討論,我們只要知道某一塊可逆,運(yùn)用定理及其推論就可以判斷出M是否可逆,如果可逆,如果一個階數(shù)較大的矩陣,找不到特殊的塊(如零塊,單位塊,相同塊等),或者不能化為特殊型(如分塊對角陣,分塊上(下)三角陣等),.而我們在實(shí)際計(jì)算當(dāng)中,最常遇到的便是矩陣中含有零塊的情況,下面我們來研究一下22分塊矩陣中含有零塊時,它的可逆性存在條件及其可逆公式是什么形式的.,即 、 、 、這種情況下,分塊矩陣是不可逆的.以第一種情況為例∵若A可逆,而=0,是不可逆的, ∴M= 不可逆(若A不可逆,那么M就更不可逆了).2. 分塊矩陣中有兩個零塊Ⅰ. 分塊矩陣的兩個零塊在同一行或同一列,即①和②,則這種分塊矩陣不可逆.∵ 由定理1可知,在①中若存在, =0不可逆.∴M不可逆.∵ 由推論1可知,在②中若存在, =0不可逆.∴M不可逆.Ⅱ.分塊矩陣的兩個零塊不在同一行或同一列,即①和②,∵ 由定理1可知,在①中若存在, =D,只有當(dāng)D可逆時, ,反過來,若D可逆,也只有A可逆時,M才可逆. 同前面的一樣.∵由推論1可知,在②中若存在, =C,只有當(dāng)C可逆時,M才可逆, 此時 .可以用下面的方法求出上面的,設(shè)=,則 ====∴.3. 分塊矩陣中只有一個零塊 Ⅰ.分塊矩陣的零塊在主對角線上,即①和②ⅰ.由定理1可知,在①中若存在,只有 可逆,M才可逆而= ∴ 只有當(dāng) 、同時存在時,M才可逆.ⅱ.若A不可逆,則令=,===, =,如果要使存在,那么,一定存在.② 可用同樣的方法討論.總結(jié): 這種類型的分塊矩陣,無論A(D)是否可逆,只有B、C同時可逆時,M才可逆.Ⅱ. 分塊矩陣的零塊不在主對角線上,
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