【正文】 .... 2 分塊矩陣的初等變換及其合理性 .......................... 3 第三章 分 塊矩陣的運算在求逆矩陣中的運用 ............................. 5 利用分塊矩陣的思想探討逆矩陣的計算問題 ...................... 5 求分塊矩陣的逆矩陣 .......................................... 8 第四章 結論 ......................................................... 9 參考文獻 ........................................................... 10 致 謝 .............................................................. 11 III 摘 要 分塊矩陣乘法的合理性是指 ,在作矩陣乘法時 ,對矩陣的塊可以像對矩陣的元素一樣對待 .分塊矩陣的初等變換與矩陣乘法有十分密切的關系 ,直接依賴于所涉及到的矩陣乘法是否能進行 .分塊矩陣的三類初等變換 ,其實就是對不分塊的原矩陣進行若干次初等變換 .有趣的是 ,分塊矩陣的初等變換 ,比普 通的初等變換 ,其“規(guī)?！币蟮枚?,是一種“成批量”的初等變換 .探討逆矩陣的求法問題 ,是分塊矩陣運算的典型運用 .求逆矩陣的典型例子 ,反映了分塊矩陣的乘法運算與初等變換之間的深刻聯(lián)系 . 關鍵詞 :分塊矩陣 初等變換 合理性 矩陣求逆 IV Abstract Block matrix multiplication rationality refers to, in the matrix multiplication, the block matrix can be treated as the matrix elements. There is very close relationship between the elementary transformation of block matrix and matrix multiplication, matrix multiplication directly depends on whether the can. Three kinds of elementary transformation of block matrix, is actually to the original matrix does not block are several elementary transformation. Interestingly, the elementary transformation of block matrix, elementary transformation than ordinary, its size is much greater, is a kind of elementary transformation into the bulk. To explore the method of inverse matrix, is a typical using block matrix operations. A typical example of the inverse matrix, reflects the profound relation between the multiplication and the elementary transformation of block matrix. Keywords: Block matrix Elementary transformation rationality Matrix inversion 興義民族師范學院本科畢業(yè)論文 1 第一章 緒論 矩陣是數(shù)學中一個重要的基本概念 ,是代數(shù)學中重要的研究對象之一 ,是數(shù)學研究和應用的重要工具 ,矩陣的性質依賴于矩陣中元素的性質 ,矩陣由最初的一種工具經過近兩個世紀的發(fā)展 ,形成了一門較為完善的學科 — 矩陣論 .矩陣理論應用于許多領域 ,其中在數(shù)學和工程學中應用最為廣泛 .在數(shù)學上 ,矩陣是求解線性方程組 ,研究線性空間 ,線性變換等問題的最要工具 ,而在一些階數(shù)較高的矩陣中，計算量卻是相當復雜，此時引出分塊矩陣，分塊矩陣也是矩陣論中一個重要的概念 ,在線性代數(shù)及高等代數(shù)中扮演著不可缺少的角色 ,分塊矩陣在進行行列式的計 算 ,求解線性方程組 ,特別是在求逆矩陣的問題上 ,有非常重要的作用 . 矩陣分塊 ,就是將一個高階數(shù)的矩陣看成是由一些低階數(shù)的矩陣組成的 ,從而將這些低階數(shù)的矩陣看成是高階數(shù)的矩陣的元素 ,特別是在矩陣的相關運算中 ,把這些小矩陣看成是數(shù)來處理 ,為矩陣的運算帶來了許多方便 ,將矩陣分塊之后 ,矩陣之間的相互關系 ,可以看得十分清楚 ,能夠在解決實際問題中 ,使問題變得簡單化 .本文即是通過查閱相關文獻和學習相關知識后總結和探究分塊矩陣的運算的合理性以及分塊矩陣在求逆矩陣方面的應用 .通過對分塊矩陣的運算合理性及分塊矩陣的初等變換的研究 ,總結和探究分塊矩陣在求逆矩陣方面的應用 ,從而得出分塊矩陣在處理很多問題上帶來方便 . 第二章 分塊矩陣的概念及其運算合理性 分塊矩陣的概念 定義 1 在矩陣的行或列之間劃上橫線或豎線將其分為若干部分，稱為對矩陣進行分塊 ,分了塊的矩陣稱為分塊矩陣 . 顯然 ,對于一個 mn? 的矩陣 ,最多可以分成 mn? 塊（一個元素一塊） ,最少可以分成一塊（它本身） . 注： 在對矩陣進行分塊的過程中 ,必須注意分塊的“線”必須穿過整個 矩陣且必須是直線，如果在行或列之間所劃直線沒有穿過矩陣，或者所劃的線不是直線而是“折線”，這種分塊分法均是錯誤的 . 興義民族師范學院本科畢業(yè)論文 2 錯誤的分塊方法如： 1 2 3 1= 4 0 1 10 0 5 1A?????? （線條未穿過） 矩陣的分塊要根據(jù)需要選擇正確的分法，應有利于認識矩陣的結構，便于矩陣的運算和討論有關矩陣的性質 . 分塊矩陣的運算合理性 普通矩陣可以進行加（含減）乘（含除和乘方）以及數(shù)乘等運算 .因為矩陣的轉置、矩陣的初等變換與矩陣的運算有密切聯(lián)系 ,所以本文也將轉置、初等變換視為矩陣的運算 ,分塊矩陣同樣可以進行 加、乘、數(shù)乘、轉置及初等變換等運算，并且限于矩陣的運算結果而言，在對矩陣進行正確分塊的基礎上，通過“塊”運算得出的結果與不分塊直接運算得出的結果是一致的 .對此 ,我們僅就分塊矩陣的乘法和初等變換加以說明 . 分塊矩陣乘法的合理性 分塊矩陣乘法的合理性是指 ,在作矩陣乘法時 ,對矩陣的塊可以像對矩陣的元素一樣對待 .即先對相乘的兩個矩陣作正確的分塊（后一個矩陣的行的分法與前一個矩陣的列的分法一致） ,然后把“塊”看成元素 ,把分塊矩陣的乘法按照普通矩陣的乘法進行（但要嚴格遵守塊的前后順序） ,得到的積是由一些“乘 積塊”構成的新的分塊矩陣 ,再將每一“乘積塊”按照普通矩陣乘法乘出來 ,“安放”在相應的位置 ,從而得到原來兩個矩陣的乘積 .這種分了塊再行計算與不分塊直接計算 ,其結果是一致的 . 設 ? ? ? ?, mnij ijs n n mA a B b P ???? ? ?，則有 : 1 2 1 21 11 12 1 11 12 1 1 11 12 12 21 21 2 21 22 2 2 21 22 21 1 1 2 1 2tvt v vt v vu u u ut t t tv t u u uvn n n m m ms A A A B B B n C C Cs A A A B B B n C C CCs A A A B B B n C C C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 其中 ? ?1 1 2 2 1 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,tp q p q p q p t t q p k k qkC A B A B A B A B p u q v?? ? ? ? ? ? ??； 下面說明分塊矩陣乘法的合理性 . 計算 C 中 ? ?,ij 元 ? ?,Ci j .設 興義民族師范學院本科畢業(yè)論文 3 1 2 1pi s s s f?? ? ? ? ?，其中 0pfs??, 1 2 1qj m m m g?? ? ? ? ?，其中 0qgm??, 即是設 C 中 ? ?,ij 元素位于 pqC 中 ）（ gf, 位置 .矩陣 A 的第 i 行屬于第 p 個行組 ,矩陣 B 的第 j 列屬于 B 的第 q 個列組 .則有以下 式子成立 ? ? ? ? 1, 。 ( ) ( 。 ] 。lnttp k k q p k k qk k rA B f g A f r B r g? ? ???? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?121 1 2 21 1 1。 。 。tnnnp q p q p t t qr r rA f r B r g A f r B r g A f r B r g? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?121 1 21 1 2 11 1 1。 。 。ttn n nn n nr r n r n n nA i r B r j A i r B r j A i r B r j?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 。 ,nr A i r B r j A B i j????. 分塊矩陣的初等變換及其合理性 我們知道 ,分塊矩陣的初等變換 與普通矩陣的初等變換類似 ,包含三類 : (1)互換分塊矩陣的兩塊行或兩塊列； (2)以某個可逆矩陣左乘以 分塊矩陣的某一塊行，或右乘以某一塊列； (3)以某個矩陣左乘以分塊矩陣的某一塊行后加到另一塊行上去，或以某個矩陣右乘以分塊矩陣的某一塊列后加到另一塊列上去 . （這里假定上面提到的運算都是可以進行的） 與普通矩陣一樣 ,對于分塊矩陣 ,也有分塊初等矩陣的概念 . 顯然 ,分塊矩陣的初等變換與矩陣乘法有十分密切的關系 ,直接依賴于所涉及到的矩陣乘法是否能進行 ,即是說 ,不是任意矩陣（即使可逆）都可以乘到分塊矩陣的某一塊行或塊列上 .即使可以乘 ,左乘與右乘也有嚴格的要求 . 對于分塊矩陣的初等變換的合理性 ,我們主要說明 :將一個矩 陣分了塊以后興義民族師范學院本科畢業(yè)論文 4 進行塊的初等變換 ,其結果就是對原矩陣進行若干次普通初等變換 . 對此 ,設 1212S= mABmCDnn?????? (1)互換 S 的兩塊行（列），顯然相當于多次互換原矩陣的行（列） (2)設 P 可逆，則 P 可以分解成初等矩陣的乘積 : lPPPP ?21? ，在乘法可以進行的情況下 ,將 P 左乘以 A 的第一塊行 : 1 2 1 2llP A P B P P P A P P P BC D C D? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 容易看出 ,其結果相當于對 S 的前 1m 行作 l 次初