【正文】 參考文獻(xiàn) 26 參考文獻(xiàn) [1]。 在內(nèi)容上，以高中數(shù)列難度來(lái)要求，所選模型均為高中經(jīng)常遇到的模型，具有代表性，比如一級(jí)構(gòu)造模型 dcaa nn ?? ?1 ? ?2?n ，作為數(shù)列構(gòu)造的基礎(chǔ)，多數(shù)模型構(gòu)造都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)樵撃Ｐ?，在利用結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn ? ?2?n，最終得出結(jié)果。此外，本文研究的內(nèi)容有限，但數(shù)列求和等很多問(wèn)題與文中模型的構(gòu)造方法類似，讀者可以對(duì)感興趣的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行探討。 第三，在加強(qiáng)基本理論科研的同時(shí)，注意運(yùn)算技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練。 第二，考慮到題型的適應(yīng)范圍，本人以字母代替數(shù)字，將題型轉(zhuǎn)為模型研究，并形成一定結(jié)論。 第一，在編寫(xiě)過(guò)程中，力圖做到“由淺入深，循序漸進(jìn)”和“少而精”；注意突出重點(diǎn)，力求論證詳細(xì)明了，便于讀者自學(xué)。我也希望此論文能在知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維方式等各個(gè)方面上幫助到讀者朋友。 結(jié)束語(yǔ) 25 結(jié)束語(yǔ) 上述是我在實(shí)習(xí)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇見(jiàn)的問(wèn)題，通過(guò)與相關(guān)老 師的交流和自己的構(gòu)思和總結(jié)，以及查閱了相關(guān)資料，得以完成這次論文的寫(xiě)作。 從價(jià)值取向看，構(gòu)造法作為解決數(shù)學(xué)和生活中的一些模型的重要方法，具 有很強(qiáng)的邏輯能力和推理能力，它沒(méi)有固定思維可套，具有一定難度，但在解決問(wèn)題中因構(gòu)造法比較靈活，適應(yīng)模型廣，與其他方法相比具有一定優(yōu)越性，另外，通過(guò)構(gòu)造思想的學(xué)習(xí)，可以有效地提升人的思維能力，所以一直成為學(xué)術(shù)界研究的課題。內(nèi)容變更的路線可以歸納為：“題型構(gòu)造 —— 模型構(gòu)造—— 模型結(jié)合題型構(gòu)造”，也可以歸納為：“數(shù)字研究 —— 字母研究 —— 字母結(jié)合數(shù)字研究”。通過(guò)這兩次的變更，章節(jié)的結(jié)構(gòu)得以完善。 第二，章節(jié)的變更。 第一，題目的變更。對(duì)于第三章復(fù)合數(shù)列，在題型的難度上有所增加，其中講到了一種媒介物質(zhì) —— 特征函數(shù)，它是處理本章內(nèi)容的重要知識(shí)點(diǎn)，只有真正理解特征方程的來(lái)源，才能完全理解該類題型。本課題重點(diǎn)在第二章簡(jiǎn)易數(shù)列和第三章復(fù)合數(shù)列，其中第二章設(shè)計(jì)了一級(jí)構(gòu)造、二級(jí)構(gòu)造和三級(jí)構(gòu)造，都屬于簡(jiǎn)單的構(gòu)造題型，一級(jí)構(gòu)造是構(gòu)造思想的基礎(chǔ)，其中的題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）和重點(diǎn)結(jié)論11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn（ 2?n ）是需要讀者注重記憶的，因?yàn)槎? 第四章 總結(jié) 24 級(jí)構(gòu)造、三級(jí)構(gòu)造以及更高級(jí)的構(gòu)造都可以逐步構(gòu)造最終轉(zhuǎn)換成一級(jí)構(gòu)造的形式，而題型 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）是一級(jí)構(gòu)造中最常見(jiàn)的題型，記住該題型和結(jié)論可以減少計(jì)算量和簡(jiǎn)化思維。本課題的重點(diǎn)不是對(duì)題型的講解，而是探討一種構(gòu)造方法，貫通一種構(gòu)造思想，題型是千變?nèi)f化的，只有掌握了方法和思想，在解題中才能得心應(yīng)手，如魚(yú)得水。 知識(shí)點(diǎn)五：雙數(shù)列型 題型：??? ??????nnnnnn dbcab bbaaa11 ，構(gòu)造新數(shù)列： ? ?nn ba ?? 課題研究總結(jié) 本課題通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)易數(shù)列和復(fù)合數(shù)列兩大環(huán)節(jié)的處理，對(duì)十一種常見(jiàn)數(shù)列題型的分析，以求數(shù)列通項(xiàng)公式為結(jié)論，以構(gòu)造思想為核心，講述了構(gòu)造法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用。 知識(shí)點(diǎn)三：三級(jí)構(gòu)造 模型：1??? nn abaa ? ?2?n ，結(jié)論： caccacacba nn ???????????????? ?? ?2121111 ? ?2?n 第四章 總結(jié) 22 模型： ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 ? ?2?n ，結(jié)論：122211211211??????????????????????nnbaabaaba n ? ?2?n 知識(shí)點(diǎn)四：特征方程 模型：dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n ，特征方程：dcx baxx ??? 模型： nnn baaaa ?? ?? 12 ，特征方程： baxx ??2 特征函數(shù) 一般情況是根據(jù)數(shù)列表達(dá)式中項(xiàng)數(shù)的梯度來(lái)決定特征函數(shù)的次數(shù)，如題型 nnn baaaa ?? ?? 12 的特征方程為 baxx ??2 ， 當(dāng)然，不是說(shuō)所有的特征方程都符合這一規(guī)律，比如說(shuō)題型dca baaa nnn ??? ??11 ? ?2?n 的特征方程為 dcx baxx ??? 。 知識(shí)點(diǎn)二：二級(jí)構(gòu)造 模型： 11 ?? ?? nnn qpaa ? ?2?n ，結(jié)論：qpqpqp qaannn ?????????? ??? ? 11 ? ?2?n ； 模型：cadaa n nn ?? ? ?1 1 ? ?2?n ，結(jié)論：dcdcdcaa nn??????????????????? ? 111 1 11 ? ?2?n ； 模型： a nn aba 1?? ? ?2?n ，結(jié)論： 121212???????????????nbaban ? ?2?n 。 知識(shí)點(diǎn)一：一級(jí)構(gòu)造 模型： dcaa nn ?? ?1 ? ?2?n ， 結(jié)論： 11 11 ???????? ??? ? c dcc daa nn ? ?2?n 。同時(shí)，構(gòu)造法在解題中雖沒(méi)有固 定的模型可套，但有一定的思路可循，我通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單數(shù)列模型的研究，給讀者一定思維的啟發(fā)，其中的模型也可成為解決其他模型的基礎(chǔ)。 例 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 71?a ， 12?a ,且數(shù)列 ??na 滿足??? ??????nnnnnn bab baa 26711 ，求通項(xiàng)公式 na 。 解：由特征方程 652 ?? xx 解得： 21?x ， 32?x 于是有： ? ? ? ? 11211 32232 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ? ? ? ? 11211 23323 ??? ????? nnnnn aaaaaa ...................? ??得： ? ? ? ? 112112 2332 ?? ???? nnn aaaaa 所以： nnna 23?? 關(guān)于 ? ?? ???? ?? 0021 nn nn baf baf 的復(fù)合構(gòu)造 對(duì)于這一類型的復(fù)合數(shù)列，我們需要構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，使之等差或等比。 例 2： 在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ， 52?a ,且數(shù)列 ??na 滿足 nnn aaa 96 12 ?? ?? ，求通項(xiàng)公式 na 。 解：由特征方程： 12 2??? xxx 化解得： 022 2 ??x 解得： 11?x ， 12 ??x 令： 111111 ??????? nnnn aacaa 由 21?a ，得 542?a ，進(jìn)而得： 31??c 所以數(shù)列?????? ??11nnaa 是以首項(xiàng)為 311111 ???aa ，公比為 31? 的等比數(shù)列 故： 1313111????????????nnnaa 第三章 復(fù)合構(gòu)造 18 解得： ? ?? ?nnnnna 13 13 ?? ??? 關(guān)于 ? ? 012 ??? nnn aaaf 的復(fù)合構(gòu)造 對(duì)于形如 nnn baaaa ?? ?? 12 （ a,b 為常數(shù)，且都不為 0）的數(shù)列，我們可以引入特征方程來(lái)構(gòu)造。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? na aa an n ? ?2?n 于是得 出：13 32 1122??? ??nnna 當(dāng) 1?n 時(shí)， 313 32 00221 ???a，滿足13 32 1122??? ??nnna 所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為13 32 1122??? ??nnna 第三章 復(fù)合構(gòu)造 17 第三章 復(fù)合函數(shù) 特征方程構(gòu)造法 對(duì)于部分題型，我們可以引入特征方程進(jìn)行構(gòu)造，比如說(shuō)：數(shù)列 ??na 滿足dca baaa nnn ??? ??11（ 2?n ， a、 b、 c、 d 為常數(shù)，且 0??bcad ），我們引入特征方程dcx baxx ??? ，化解可得： ? ? 02 ???? bxadcx ，假設(shè)解得方程的兩個(gè)根為 1x 、 2x ，若 21 xx? ，則可令211121 xa xacxa xannnn ????????，則數(shù)列 ?????? ??21xa xann 是以首項(xiàng)為2111 xa xa?? ，公比為 c 的等比數(shù)列；若 21 xx? ，則可令 cxaxa nn ???? ? 111 11，則數(shù)列?????? ?11xan是以首項(xiàng)為111xa? ，公差為 c 的等差數(shù)列，讓后帶入 1a ， 2a 的值可求得 c 值，進(jìn)而求出 na 。 于是有： 122 2lglg 1 1 ????????? ?? ?? nba aba an n ? ?2?n 于是得出：?????????????????????????????????2,12221,112112111nbaabaabnaannn 例 8：在數(shù)列 ??na 中，已知 31?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ? ?12 121?? ??nnn aaa（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 模型 8：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 （ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 分析： 構(gòu)造假設(shè)： ? ?caa caca nnn ???? ?? 11 則： ? ?1?????? nn a caccaca 又由題意： 1??? nn abaa 相比較得： ? ?cacb ?? 從而解得： 2 42 baac ??? 于是有： ? ?? ?cacaca ccaca aca nnnn ?????????? ??? 111 111（取倒） 設(shè)cab nn ?? 1，則cabca cb nn ???? ? 11（滿足一級(jí)構(gòu)造數(shù)列表達(dá)式） 由結(jié)論 1 得：?????????????? ??????? ??? ? 2,21211,111nacca cacbnbb nn 從而得出：???????????????????????? ??? ? 2,212111,111ncaccacacbnaa nn 例 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 21?a ，且數(shù)列 ??na 滿足112??? nn aa（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na 。 三級(jí)構(gòu)造的數(shù)列表達(dá)式 1 第二章 簡(jiǎn)易構(gòu)造