根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法總結(jié)歸納(參考版)
2024-10-23 20:27本頁面
【正文】 反思：此題的關(guān)鍵在于觀察遞推數(shù)列的形式，取一些特定的 n 的值，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，從而找到其周期，這樣問題就迎刃而解了。 此題型一般是在不能運(yùn)用以上各種方法的情況下可考慮到這種方法，具有一定的探索性，雖然比 較簡單，但也是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，需要好好掌握。 【解析】： 由 21 1 nn aaa ???兩邊取對數(shù)得aaa nn 1lglg2lg 1 ???， 令 nn ab lg? ，則abb nn 1lg21 ???，再利用 構(gòu)造新數(shù)列（ 待定系數(shù)法 ） 解得： 12)1( ?? nn aaa。 十、取對數(shù)法： 形如 rnn paa ??1 )0,0( ?? nap 這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為 qpaa nn ???1 ，再利用 構(gòu)造新數(shù)列（ 待定系數(shù)法 ） 求解。 【解析】：令 nn a241b ?? ，則 )1b(241a 2nn ?? 故 )1b(241a 21n1n ?? ?? 代入 )a241a41(161a nn1n ?????得 ]b)1b(24141[161)1b(241 n2n2 1n ??????? 即 2n2 1n )3b(b4 ??? 因?yàn)?0a241b nn ??? ，故 0a241b 1n1n ??? ?? 則 3bb2 n1n ??? ，即 23b21bn1n ???， 可化為 )3b(213bn1n ????， 所以 }3b{ n ? 是以 2312413a2413b 11 ????????? 為首項(xiàng)，以 21為 公比的等比數(shù)列，因此 2n1nn )21()21(23b ?? ????，則 2nn )21(b ??+3，即3)21(a241 2nn ??? ?，得 31)21()41(32a nnn ??? 。 九、換元 法 即是將一復(fù)雜的整體用一個新的符號來表示，從而使遞推數(shù)列看起來更簡單，更易找到解決的方法。 因?yàn)? 3a2 5a513a2 2a71a nnnn1n ????????? 所以 ??? 1a 11n 521a1)1a251(521a 23a525a53a2nnnnnn ???????????? ， 所以 數(shù)列 }1a 1{ n?是以 112 11a 11 ????為首項(xiàng)，以 52 為公差的等差數(shù)列，則52)1n(11a 1n ?????， 故 3n2 8n2an ???。 例 已知數(shù)列 }a{ n 滿足 2a3a2 2a7a 1nn1n ????? ，求數(shù)列 }a{ n 的通項(xiàng)公式。再由初始值確定出 A,B 的用已知量 a,b表示的值，從而可 得數(shù)列 }a{n 的通項(xiàng)公式。 32,121 ?? xx?, ? 1211 ?? ?? nnn BxAxa 1)32( ???? nBA 。 若 21,xx 是特征方程的兩個根， 當(dāng) 21 xx? 時 ，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）； 當(dāng) 21 xx? 時，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 11)( ??? nn xBnAa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）。 七 、 特征根法： 形如 遞推公式為 nnn qapaa ?? ?? 12 （其中 p， q 均為常數(shù)）。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N
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