根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法總結(jié)歸納(完整版)
【正文】 歸納法 . 例 已知數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . nnn aaaaS ????? ? 121 ?121 aaaaS nnn ????? ? ?)(2 1 nn aanS ??)(2 1 nn aanS ??? 【解析】： 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， ? 2121aa??3? ， 3221aa??7? ???? 猜測(cè) 21nna ?? *()nN? ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明 .（略） 反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性 . 三 、 累加法 ：利用 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ?? ? ? ? ??? ?求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。 定義： n≥2 時(shí)，有 an－ a(n－ 1)=d，則： a2=a1＋ d a3=a2＋ d=a1＋ 2d a4=a3＋ d=a1＋ 3d a5=a4＋ d=a1＋ 4d …… 猜測(cè)并寫出 an=？ （ 2） 采取累加 a2－ a1=d a3－ a2=d a4－ a3=d …… an－ a(n－ 1)=d 累加后，有： an－ a1=(n－ 1)d，即： an=a1＋ (n－ 1)d。 數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問題。 二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式 歸納猜想法 倒數(shù)變換法 1周期法 函數(shù)的思想方法 數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題。 兩式相加得： 總結(jié)：（ 1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)也體會(huì)到同一個(gè)問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時(shí)將數(shù)列 1na??????看成一個(gè)新的數(shù)列，即再利用“構(gòu)造新數(shù)列 ”的方法求解。再由初始值確定出 A,B 的用已知量 a,b表示的值，從而可 得數(shù)列 }a{n 的通項(xiàng)公式。 【解析】：令 nn a241b ?? ，則 )1b(241a 2nn ?? 故 )1b(241a 21n1n ?? ?? 代入 )a241a41(161a nn1n ?????得 ]b)1b(24141[161)1b(241 n2n2 1n ??????? 即 2n2 1n )3b(b4 ??? 因?yàn)?0a241b nn ??? ，故 0a241b 1n1n ??? ?? 則 3bb2 n1n ??? ，即 23b21bn1n ???， 可化為 )3b(213bn1n ????， 所以 }3b{ n ? 是以 2312413a2413b 11 ????????? 為首項(xiàng)，以 21為 公比的等比數(shù)列，因此 2n1nn )21()21(23b ?? ????，則 2nn )21(b ??+3
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