根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項公式的常用方法總結(jié)歸納(編輯修改稿)
2024-11-24 20:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （ 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時： 分析到這里發(fā)現(xiàn)21?na “落單”了，似乎遇到了阻礙，此時鼓勵學(xué)生不能放棄，在老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn) ，21?na的角標(biāo)與 角標(biāo)的關(guān)系 從而得到，無論 n 取奇數(shù)還是偶數(shù)， 總結(jié)：（ 1）類比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對”，發(fā)現(xiàn)需要對 n 取奇偶進(jìn)行討論，思路自然，容易掌握。 （ 2）不少資料對 n 取奇數(shù)時的處理辦法是，當(dāng)討論進(jìn)行不下去時轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法，進(jìn)而引出倒序相加求和法。 naa?1nnnn aaaaS ?????? ? ?? 1221)(2 1 nn aanS ???nnnnn aaaaaS ??????? ????? ?? 12 12 112 11)( 1 naa ?2 11)(2 1 ????? nnn aaanS2)(21 2 12 11?? ????? nnnaaaan)(2 1 naan ??)(2 1 nn aanS ?? 方法二： 對 n 的奇偶進(jìn)行討論有點麻煩，能否回避對 n 的討論呢？接下來給出實際問題： 伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。 兩式相加得： 總結(jié)：（ 1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。 （ 2） 倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。 （ 3）在過程中體會數(shù)學(xué)的對稱美。 三、 一般 的遞推數(shù)列通項公式的常用方法 一、 公式法 例 已知無窮數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，并且 *1( )nna S n N? ? ?，求 ??na 的通項公式？ 【解析】： 1nnSa?? ， ? 1 1 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ?， ? 1 12nnaa? ?，又1 12a?， ? 12nna ???????. 反思：利用相關(guān)數(shù)列 ??na 與 ??nS 的關(guān)系： 11aS? , 1n n na S S ??? ( 2)n? 與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵 . 二、 歸納猜想法 ：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法 . 例 已知數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， 求數(shù)列 ??na 的通項公式 . nnn aaaaS ????? ? 121 ?121 aaaaS nnn ????? ? ?)(2 1 nn aanS ??)(2 1 nn aanS ??? 【解析】： 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， ? 2121aa??3? ， 3221aa??7? ???? 猜測 21nna ?? *()nN? ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明 .（略） 反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性 . 三 、 累加法 ：利用 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ?? ? ? ? ??? ?求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如 1 ()nna a f n? ?? 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（ ()fn可求前 n 項和） . 例 3 、已知無窮數(shù)列 ??na 的的通項公式是 12nna ???????，若數(shù)列 ??nb 滿足 1 1b? ，1 12nnnbb? ????????( 1)n?，求數(shù)列 ??nb 的通項公式 . 【解析】： 1 1b? ,1 12nnnbb? ????????( 1)n?,? 1 2 1 1( ) ( )n n nb b b b b b ?? ? ? ? ??? ?=1+12 +...+ 112n???????= 1122n????????. 反思 :用 累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為 1 ()nna a f n? ?? 。 四 、累乘法 :利用恒等式 321 1 2 1 ( 0 , 2)nnnnaaaa a a na a a ?? ??? ? ?求通項公式的方法稱為累乘法 ,
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