【文章內(nèi)容簡介】 完整的理論，他在馬爾科夫的基礎(chǔ)上解決了閱讀困難和數(shù)學(xué)實踐上存在的問題，體現(xiàn)出構(gòu)造法的靈活性、廣泛性和實用性，激發(fā)了人們對構(gòu)造思想的認(rèn)可。 構(gòu)造法的前景 構(gòu)造法伴隨數(shù)學(xué)成長，解決了數(shù)學(xué)中很多難以解決的問題，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了成就，在以后數(shù)學(xué)的發(fā)展中，構(gòu)造法還可以用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，尤其是圖論更是構(gòu)造數(shù)學(xué)發(fā)展的典型領(lǐng)域之一。因為圖的定義就是構(gòu)造性的，同時圖的許多應(yīng)用問題，如計算機網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達式等，也都是構(gòu)造性很強的問題。同時，構(gòu)造法還可以用于對經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理尋找構(gòu)造性解釋。此外，拓?fù)鋵W(xué)，特別是維數(shù)理論，也是可以為構(gòu)造法的洞察力提供實例的數(shù)學(xué)分支，所以也是構(gòu)造數(shù)學(xué)有待開發(fā)的新領(lǐng)域。 3 第二章 簡易構(gòu)造 第二章 簡易構(gòu)造 一級構(gòu)造 所謂一級構(gòu)造，就是只通過一次模型轉(zhuǎn)換就得出結(jié)論的思想方法。一級構(gòu)造也稱為初級構(gòu)造，它是構(gòu)造法在數(shù)列中應(yīng)用的基礎(chǔ)，也就是說，在利用構(gòu)造法解決數(shù)列題型的問題中，最終都要將題型轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造的數(shù)列表達式形式，所以說，一級構(gòu)造是構(gòu)造初步，也是構(gòu)造法的核心。 一級構(gòu)造的數(shù)列表達式一般地，形如（，c,d為常數(shù)）的式子，我們稱為一級構(gòu)造的數(shù)列表達式。注意：（，c,d為常數(shù)）是其中一種一級構(gòu)造的數(shù)列表達式，而不是唯一的一級構(gòu)造的數(shù)列表達式。模型1：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（，c,d為常數(shù)），求通項公式。分析：不妨設(shè) 即 又 即 （驗證：） 數(shù)列是以為首項，c為公比的等比數(shù)列 從而得出：※ 結(jié)論1（重點結(jié)論）: 一級構(gòu)造的數(shù)列表達式（，c,d為常數(shù)）的通項公式為： （）。 例1：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。解： 不妨設(shè) 即 又 即： 數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 從而得出：當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為 超一級構(gòu)造在一級構(gòu)造表達式（，c,d為常數(shù)）中，d為常數(shù)，然而在很多數(shù)列題型中，d是一個關(guān)于n的函數(shù)，于是，我們把形如 （，c為常數(shù)，f(n)為關(guān)于n的函數(shù)）的式子，我們稱為超一級構(gòu)造的數(shù)列表達式。下面我們以兩種常用的超一級構(gòu)造的數(shù)列表達式（）和（）來講解超一級構(gòu)造思想。模型2：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。思想構(gòu)造：不妨設(shè) 即 又 （驗證：） 數(shù)列是以為首項，c為公比的等比數(shù)列。 從而得出： ※ 結(jié)論2：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式（）的通項公式為： （）例2：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。 解2： 不妨設(shè) 即 又 數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列。 從而得出： 當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為模型3：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。思想構(gòu)造： 不妨設(shè) 即 又 即 （驗證： ） 數(shù)列是以為首項，c為公比的等比數(shù)列。 ， 從而可得： ※ 結(jié)論3：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式（）的通項公式為： 例3：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。解： 不妨設(shè) 即 又 即： 數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列。 從而可得： 當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為通過觀察我們不難發(fā)現(xiàn)：我們將超一級構(gòu)造數(shù)列表達式（）兩邊同時除以，就可以將其轉(zhuǎn)化為一級構(gòu)造數(shù)列表達式（），在引用重要結(jié)論就會很快得出答案，我們把這一類型稱為二級構(gòu)造（見下一節(jié)）。需要注意的是，不是所有的超一級構(gòu)造都能轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造，比如說：超一級構(gòu)造數(shù)列表達式（）就不能轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造。 二級構(gòu)造 二級構(gòu)造是在一級構(gòu)造的基礎(chǔ)上進行討論的，也就是通過一定的方法取構(gòu)，能轉(zhuǎn)變成一級構(gòu)造數(shù)列表達式的方法，我們稱為二級構(gòu)造。二級構(gòu)造在思維上增加了難度，但在對一級構(gòu)造的理解的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)二級構(gòu)造，也是比較容易理解掌握的。由于題型具有多變性，我僅以幾種常見的題型來分析構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用。 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式1（除法構(gòu)造）一般的，形如（，是指數(shù)函數(shù)且）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。特殊地，當(dāng)p=1時，（）等差。模型4：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。思想構(gòu)造：將兩邊同時除以，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得： 從而得出： 例4：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。解：將兩邊同時除以，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得：（） 從而得出： （） 當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式2 (取倒構(gòu)造)一般的，形如（，c,d為常數(shù)且）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。模型5：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。思想構(gòu)造：將兩邊取其倒數(shù)，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得： 從而得出： 例5：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。解：將兩邊取其倒數(shù)，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得： 從而得出： 當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為 二級構(gòu)造的數(shù)列表達式3 (取對構(gòu)造)一般的，形如（，a,b為常數(shù)，且）的式子，我們稱為二級構(gòu)造數(shù)列表達式。模型6：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。思想構(gòu)造：將兩邊取其對數(shù)，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得： 從而得出： 例6：在數(shù)列中，已知，且數(shù)列滿足（），求通項公式。解：將兩邊取其對數(shù)，可得： 設(shè)，則（滿足一級構(gòu)造數(shù)列表達式） 由結(jié)論1得： 從而得出： 當(dāng)時，滿足 所以數(shù)列的通項公式為 三級構(gòu)造三級構(gòu)造是一級構(gòu)造和二級構(gòu)造的疊加，思維更加縝密，難度要求更大，它結(jié)合了地推、替代 、取對等構(gòu)造方法，逐步轉(zhuǎn)換為最簡單的一級構(gòu)造。這使得構(gòu)造法在數(shù)列中體現(xiàn)