根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法總結(jié)歸納(存儲(chǔ)版)
【正文】 一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，從而使遞推數(shù)列看起來(lái)更簡(jiǎn)單，更易找到解決的方法。 此題型一般是在不能運(yùn)用以上各種方法的情況下可考慮到這種方法，具有一定的探索性，雖然比 較簡(jiǎn)單，但也是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，需要好好掌握。 【解析】： 由 21 1 nn aaa ???兩邊取對(duì)數(shù)得aaa nn 1lglg2lg 1 ???， 令 nn ab lg? ，則abb nn 1lg21 ???，再利用 構(gòu)造新數(shù)列（ 待定系數(shù)法 ） 解得： 12)1( ?? nn aaa。 因?yàn)? 3a2 5a513a2 2a71a nnnn1n ????????? 所以 ??? 1a 11n 521a1)1a251(521a 23a525a53a2nnnnnn ???????????? ， 所以 數(shù)列 }1a 1{ n?是以 112 11a 11 ????為首項(xiàng)，以 52 為公差的等差數(shù)列，則52)1n(11a 1n ?????， 故 3n2 8n2an ???。 若 21,xx 是特征方程的兩個(gè)根， 當(dāng) 21 xx? 時(shí) ，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）； 當(dāng) 21 xx? 時(shí)，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 11)( ??? nn xBnAa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）。累加法是求型如 1 ()nna a f n? ?? 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（ ()fn可求前 n 項(xiàng)和） . 例 3 、已知無(wú)窮數(shù)列 ??na 的的通項(xiàng)公式是 12nna ???????，若數(shù)列 ??nb 滿足 1 1b? ，1 12nnnbb? ????????( 1)n?，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式 . 【解析】： 1 1b? ,1 12nnnbb? ????????( 1)n?,? 1 2 1 1( ) ( )n n nb b b b b b ?? ? ? ? ??? ?=1+12 +...+ 112n???????= 1122n????????. 反思 :用 累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為 1 ()nna a f n? ?? 。 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和： 方法一：高斯算法（即首尾相加法） 1 + 2 + 3 +? +50+51+? +98+99+100=？ 1+100=101， 2+99=101，? ,50+51=101，所以原式 =50? （ 1+101） =5050 則利用高斯算法，容易進(jìn)行類比，過(guò)程如下： 其中 ?...... 12321 ??????? ?? nnn aaaaaa......23121 ?????? ?? nnn aaaaaaqpnm aaaaqpnm ?????? 則若 , 這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)： 問(wèn)題是一共有多少個(gè) ，學(xué)生自然想到對(duì) n 取奇偶進(jìn)行討論。在這 一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法： 不完全歸納法 不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效的解決問(wèn)題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過(guò)程就用到了不完全歸納法。 不動(dòng)點(diǎn)法
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