【正文】 is a function of two variables such that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian matrix of at is the matrixwhere the derivatives are evaluated at.If is a function of three variables such that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian of f at is the matrixwhere the derivatives are evaluated at.Definition Let be an matrix and, for each ,let be the matrix formed from the first rows and columns of .The determinants det(),are called the leading minors of Theorem (The Leading Minor Test). Suppose that is a sufficiently smooth function of two variables with a critical point atand H the Hessian of , then is:(1) a local maximum if 0det(H1) = fxx and 0det(H)=。最后我要用我最真誠的心意說聲：“感謝你們！”參 考 文 獻(xiàn)[1][J].考試周刊,2011,(52):8485.[2](第三版)上冊[M].高等教育出版社,.[3][J].邢臺學(xué)院學(xué)報,:9798.[4][J].武漢交通管理干部學(xué)院學(xué)報,:110115.[5][J].科技信息,2010,(24):120.[6]“陷阱”[J].數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用科學(xué),2006:1516.[7][J].焦作師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2007(12):8082.[8][J].氣象教育與科技,2008,3.(2),1418.[9]龍莉,[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報,5(4):1012.[10][J].菏澤師專學(xué)報,25(2):1618. [11]張芳,[J].大學(xué)數(shù)學(xué),24(6):130133.[12]齊新社,包敬民,[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,12(2):5456.[13][D]:玉林師范學(xué)院,2007.[14][J].淮南師范學(xué)院學(xué)報,2004,3(6):12.[15]朱江紅,[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報,2010,02:9599.[16][J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2008,(15):246247.[17][J].臨沂師范學(xué)院學(xué)報,1999,(12):2124.附 錄附錄一：外文文獻(xiàn)EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES1. Stationary PointsDefinition Let and . The point a is said to be: (1) a local maximum iffor all points sufficiently close to 。在此我要向楊老師表示我最誠摯的謝意和最崇高的敬意！同時也要感謝參考文獻(xiàn)中的作者們，因?yàn)槟銈兊呢暙I(xiàn)，讓我順利的完成我的論文。致 謝四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。例13 若,試求的極值.解: 由得,代入得整理得： ①則有: ②即 ③解關(guān)于的二次不等式③,得: ④顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 ⑤或 ⑥的極值.由⑤式得 ⑦關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須, 即 ⑧解此關(guān)于的二次不等式,把代入⑦得：,再把，代入①,得,最后把，代入，得.所以,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時,函數(shù)達(dá)到極小值3.所謂標(biāo)準(zhǔn)量代換法[17]，就是在求某些多個變量的條件極值時，我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量，稱其余各量為比較量，然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了. 如果給定條件是幾個變量之和的形式，一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例14 設(shè),求的最小值.解：取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則 (為任意實(shí)數(shù))，從而有(等號當(dāng)且僅當(dāng)即時成立). 最小值為結(jié) 束 語本文通過從一元函數(shù)極值的問題開始進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)的極值多種求解方法，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法。又曲面在點(diǎn)的切平面上有兩個向量，和，把這兩個向量與作內(nèi)積，使其為0；則可得到下列方程組：解方程組：解得其函數(shù)的駐點(diǎn)為，；由題意知，函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則函數(shù)必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個，所以它們一個是極大值點(diǎn)，另一個是極小值點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量，；設(shè)為個條件相交部分的方程，其中是一些固定的常數(shù)，這樣我們就可以把多個條件轉(zhuǎn)化了為一個條件，而曲面在點(diǎn)處的法向量為:，其中；設(shè)曲面在點(diǎn)處的切平面上的一個切向量為：，可以得到一個切向量，如令，則，消去，于是得到切平面上的一個切向量，類似可以得到另外的個向量，…。③ 對解出的可能的條件極值點(diǎn)加以判斷. 例11 求表面積為而體積最大的長方體的體積。例10 拋物面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長和最短距離 解：這個問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，應(yīng)用乘數(shù)法，令 求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有，解方程組 ，得函數(shù)的兩個駐點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個，所以它們一個是最大點(diǎn)，另一個是最小。利用上述方法只是求出駐點(diǎn)，還需要進(jìn)一步判斷。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。代入直接求解由等式條件所構(gòu)成的方程組消去問題中的某些變量，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題[11]．從另外一種形式上講，代入法就是采用降維的原理將多元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值的函數(shù)極值問題.例8求函數(shù)在條件下的極值.解：由解得，將上式代入函數(shù)，得解方程組 ， 解得駐點(diǎn)又， 在點(diǎn)處，則， ∴不是極值點(diǎn)在點(diǎn)處，則，且∴為極小值點(diǎn)綜上所述，函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，極小值為. 乘數(shù)法求極值在求解二元函數(shù)條件極值的方法同樣也適用于多元函數(shù)（）條件極值的求解，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解出相對應(yīng)的解，對解出的結(jié)果進(jìn)行判斷，從而判定多元函數(shù)條件極值的極值。(2) 由方程組解出, 其中就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注[8] ：乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn), 還需要加以討論. 不過在實(shí)際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn).例6 求函數(shù)在條件下的極值.解：由乘數(shù)法，設(shè)函數(shù)為解方程組 解得 得駐點(diǎn) 又 所以 故 是極小值點(diǎn).極小值為 第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 多元函數(shù)極值（）定義定義3 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任何點(diǎn),成立不等式 (或),則說函數(shù) 在處取極大值(或極小值),點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn). 梯度定義4 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作,即 [] 矩陣 定義5 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)的矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則是實(shí)對稱矩陣. 多元函數(shù)極值必要條件定理1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則，即.（滿足的點(diǎn)稱為元函數(shù)的駐點(diǎn)） 證：元函數(shù)在點(diǎn)取得極值,令 分別等于，即可得一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，于是有，同理，因此， 多元函數(shù)極值充分條件　定理 2[9] 設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:（1） 當(dāng)是正定矩陣時, 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，點(diǎn)為函數(shù)的一個極小值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實(shí)際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費(fèi)馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且為的極值點(diǎn)，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.②若當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點(diǎn) 取得極大值.③如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點(diǎn)沒有極值，即不是 的極值點(diǎn).證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是則對于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有即在處取得極小值.同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點(diǎn)的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點(diǎn)沒有極值， 不是的極值點(diǎn).若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.①若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極大值.②若，則函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又