20xx畢業(yè)論文-數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用-wenkub
2023-01-28 16:12:16 本頁面
【正文】 達(dá)法則），再由歸結(jié)原則知. 定積分定義法 通項中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來求就相對容易多了. 求.解：令，,也即，所以. 求極限.解：因為 ， ，類似地 ，由夾逼準(zhǔn)則知 .注：在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性. Stoltz公式法Stoltz公式，在求某些極限時非常方便，尤其是當(dāng)時特別有效. ，（1）式證明.證明：前面用定義法證明，現(xiàn)用Stoltz公式證明.令，則由Stoltz公式得到 . 求.解： （Stoltz公式） ＝ （二項式定理） ＝. 幾何算術(shù)平均收斂公式法 ,下面我們通過例子會發(fā)現(xiàn)很多類型的數(shù)列極限可以用此方法來簡化其求法. ，其中.解：令,（2）知 . .解：令,（2）知 . .解：令,則 ＝.所以 ，也即，（2）知 .故 . 求.解：令，（1）知 . 級數(shù)法 若一個級數(shù)收斂，其通項趨于0（）,我們可以應(yīng)用級數(shù)的一些性質(zhì)來求數(shù)列極限，我們來看兩個實例來領(lǐng)會其數(shù)學(xué)思想. .解：考慮級數(shù)，由正項級數(shù)的比式判別法，因 ，故級數(shù)收斂，從而. ,即設(shè)及，求.解：考慮正項級數(shù)，由正項級數(shù)的比式判別法，因 ，故正項級數(shù)收斂，所以. 求極限.解： 因級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則知，對，存在, 使得當(dāng)時， ，此即，所以 . 求極限.解：令， ，因為，所以此級數(shù)收斂.令 ， .所以 .而 ,所以 . 其它方法 除去上述求數(shù)列極限的方法外，針對不同的題型可能還有不同的方法，我們可以再看幾個例子. 求.解：對于這個數(shù)列極限可用三角函數(shù)的周期性. ＝ ＝. 設(shè), 證明：收斂，并求其極限.解：對于這個極限可以先用中值定理來說明其收斂. 首先用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 .事實上,.假設(shè)，則.令，則. ＝， （1）,再由（1）式知為壓縮數(shù)列，,則.由于 ，所以 .解得（舍去），.綜上知.注：對于這個題可也以采用單調(diào)有界原理證明其極限的存在性.第三章 數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用 幾何應(yīng)用計算面積在論文開始時，我們已經(jīng)簡要介紹了利用極限求圓的面積，現(xiàn)在我們再來介紹如何求拋物線與兩直線和所圍的面積.先將區(qū)間等分為個小區(qū)間，以這些小區(qū)間為底邊，分別以為高，作個小矩形.這個小矩形的面積之和是
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