【正文】 函數(shù)極值的幾種求法畢業(yè)論文目 錄摘 要 IAbstract II第1章 緒 論 1 1 1第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 2 一元函數(shù)極值定義 2 一元函數(shù)極值的充分必要條件 2 一元函數(shù)極值的必要條件 2 極值的第一充分條件 2 極值的第二充分條件 3 極值的第三充分條件 4 一元函數(shù)極值的求解方法 4第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 7 二元函數(shù)極值定義 7 二元函數(shù)極值的充分必要條件 7 二元函數(shù)極值必要條件 7 二元函數(shù)極值充分條件 8 8 9 代入法求極值 9 乘數(shù)法求極值 10第4章 多元函數(shù)極值的求解方法 12 多元函數(shù)極值（）定義 12 12 梯度 12 矩陣 12 多元函數(shù)極值必要條件 12 多元函數(shù)極值充分條件 13 多元函數(shù)極值的求法 14 14 15 代入法求極值 15 乘數(shù)法求極值 16 矩陣法求極值 19 梯度法求極值 24 二次方程判別式法求極值 26 標準量代換法 27結(jié) 束 語 29致 謝 30參 考 文 獻 31附 錄 i附錄一： 外文文獻 i附錄二： 外文譯文 ix附錄三： 任務(wù)書 xvii附錄四： 開題報告 xviii第1章 緒 論在現(xiàn)實科學(xué)生產(chǎn)實際中，存在著很多極值問題需要去解決，函數(shù)的極值一直是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，由于它的應(yīng)用廣泛，加之函數(shù)本身變化紛繁，所以人們對其方法的研究較多，像代入法，梯度法，利用矩陣解決函數(shù)極值，利用乘數(shù)法解決函數(shù)的極值以及其他多種方法判別極值是否存在等等。這些諸多理論與實際有機的結(jié)合起來，這不僅為科研打下了良好的基礎(chǔ)，也為諸多領(lǐng)域的實際工作提供了便捷，比如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理和經(jīng)濟核算中，解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。在生活中也經(jīng)常會求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。這些算法的提出與改進，使得許多問題很便利的得以解決，具有非常重要的現(xiàn)實意義。如果一個函數(shù)在一點的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（?。┲?。如果它比鄰域內(nèi)其他各點處的函數(shù)值都大（?。?，它就是一個嚴格極大（?。?。該點就相應(yīng)地稱為一個極值點或嚴格極值點。極值的概念來自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大值與最小值問題。其定義在一個有界閉區(qū)域上的每一個連續(xù)函數(shù)都必定有它的最大值和最小值，問題在于要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。如果最大值或最小值不是邊界點，那么就一定是內(nèi)點，因而是極值點。函數(shù)極值涉及的函數(shù)量比較多，尤其是以多元函數(shù)為主，因此我們在求解函數(shù)極值的過程中經(jīng)常會遇到某些形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的極值問題，同時我們在解題的過程當中也常常會遇到一些具有條件限制的多元函數(shù)極值的求解，在解這種條件極值的問題時我們必須考慮其限制條件，那么對于我們而言，什么時候什么地方以及如何用這些限制條件就成了我們所關(guān)心的問題。綜上可知，我們對函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個比較全面的了解是相當重要的。第2章 一元函數(shù)極值的求解方法 一元函數(shù)極值定義定義1設(shè)函數(shù)在的某個鄰域有定義，對于該鄰域內(nèi)任一異于的點，如果對該鄰域的所有的點,(1)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，點為函數(shù)的一個極大值點。(2)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，點為函數(shù)的一個極小值點.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點. 一元函數(shù)極值的充分必要條件函數(shù)的極值不僅僅在實際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征. 一元函數(shù)極值的必要條件費馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點可導(dǎo)，且為的極值點，. 下面討論充分條件. 極值的第一充分條件定理1設(shè)在點處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若當時，當時，則函數(shù)在點取得極小值.②若當時，當時，則函數(shù)在點 取得極大值.③如果在點的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點沒有極值，即不是 的極值點.證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是則對于①：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有即在處取得極小值.同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點沒有極值， 不是的極值點.若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班別極值定理. 極值的第二充分條件定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.①若，則函數(shù)在點取得極大值.②若，則函數(shù)在點取得極小值.證：由條件，可得在處的二階泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正數(shù)，當時，當，(1)式取負值，從而對任意有，可得在處取極小值.對于應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)無法判斷的問題，可借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判斷. 極值的第三充分條件定理3[2]設(shè)在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，則①當為偶數(shù)時，函數(shù)在點取到極值，且當時取極大值，時取極小值.②當為奇數(shù)時，函數(shù)在點不取極值. 一元函數(shù)極值的求解方法一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點和不可導(dǎo)點（可能極值點）；（3）對于駐點可利用定理l或2判定，考查導(dǎo)函數(shù)在駐點左右鄰近的符號，確定是否是函數(shù)的極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.例1 求的極值點和極值解：易得的定義域為，在上連續(xù)，且當時，有顯而易見，為的穩(wěn)定點，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：0（0,1）1+不存在－0+↗0↘－3↗則由上表可見：點為的極大值點，極大值為。點為的極小值點，極大值為.例2 求函數(shù)的極值解 ：易得的定義域為，在上連續(xù)，有解，得穩(wěn)定點，又 因此不是函數(shù)的極值點， 由定理2可知，是函數(shù)的極大值點故函數(shù)的極大值為，無極小值.例3 求函數(shù)的極值[4]解：，解得是函數(shù)的三個穩(wěn)定點.函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為則，由定理3可知，在時取得極小值其極小值為：函數(shù)的三階導(dǎo)函數(shù)為則，.由于是奇數(shù)，有定理3可知，在不取極值函數(shù)的四階導(dǎo)函數(shù)為則，是偶數(shù)，有定理3可知，在取極大值綜上所述，可知函數(shù)為極大值為極小值第3章 二元函數(shù)極值的求解方法 二元函數(shù)極值定義定義2設(shè)二元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,對該鄰域內(nèi)任一異于的點, (1)如果,則稱是函數(shù)的極大值，點為函數(shù)的一個極大值點。(2)如果,則稱是函數(shù)的極小值，點為函數(shù)的一個極小值點. 二元函數(shù)極值的充分必要條件 二元函數(shù)極值必要條件 定理1設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點處有極值, 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 證：不妨設(shè)處有極大值，的某鄰域內(nèi)任何都有，故當，有則一元函數(shù)處有極大值，必有類似地，可證與一元函數(shù)的情形類似，對于二元函數(shù)甚至多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.備注：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點必然是駐點，但駐點不一定是極值點. 二元函數(shù)極值充分條件定理2[5] 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令則在處是否取得極值的條件如下: (1) 當時，函數(shù)在處有極值，且當時有極小值；時有極大值；(2) 當時，函數(shù)在處沒有極值。(3) 當時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值.在此應(yīng)注意的幾個問題：(1)對于二元函數(shù),在定義域內(nèi)求極值這是一個比較適用且常用的方法, 但是這種方法對三元及更多元的函數(shù)并不適用； (2)時可能有極值, 也可能沒有極值，還需另作討論；(3)如果函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點當然不是駐點，但也可能是極值點，討論函數(shù)的極值問題時這些點也應(yīng)當考慮. 根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟如下：（1）解方程組 求出的所有駐點；（2）求出函數(shù)每一個駐點的二階偏導(dǎo)數(shù)，確定各駐點處A、B、C的值，并根據(jù)的符號判定駐點是否為極值點.（3）最后求出函數(shù)在極值點處的極值. 例4 求函數(shù)的極值解：，， 解方程組： 得駐點為：(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).
令 則在點(1,0)處，且 為極小值 在點(1,2)處，不是函數(shù)的極值在點(3,0)處，不是函數(shù)的極值在點(3,2)處，且為極大值 綜上所述，函數(shù)極大值為，極小值為前面所討論的二元函數(shù)極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但是在實際問題過程中，我們常會遇到除對函數(shù)的自變量有要求外，還有附加其他條件的的極值問題. 這樣我們把對自變量有附加條件的極值稱為條件極值. 代入法求極值在約束條件中，如果能解出，即，將它代入中，那么，這就把就二元函數(shù)在約束條件的極值問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值問題.[6]例5 求在約束條件的極值解：由約束條件得，將其帶入到中，得 令，解得又，且當時，所以，為函數(shù)的極大值點，極大值為注意：使用代入法時，減少了函數(shù)變量，在判別極值過程中帶來了方便，但是有時約束條件不容易將表示成的函數(shù)形式（或者表示成的函數(shù)形式）.這樣情況下在求條件極值時，使用代入法就顯得比較困難,有時還有可能會出現(xiàn)遺失可能極值點[7].這樣的情況下，則通常采用乘數(shù)法來求函數(shù)的極值. 乘數(shù)法求極值設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題.求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 其中為某一常數(shù)。(2) 由方程組解出, 其中就是所求條件極值的可能的極值點.注[8] ：乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.例6 求函數(shù)在條件下的極值.解：由乘數(shù)法，設(shè)函數(shù)為解方程組 解得 得駐點 又 所以