【正文】 鄭州航空工業(yè)管理學院 畢 業(yè) 論 文（設 計） 屆 專業(yè) 班級 題 目 數(shù)列極限的求法及其應用 二 О一一 年 五 月 二十 日 內 容 提 要 數(shù)列極限可用 N?? 語言和 AN? 語言進行準確定義，本 文主要講述數(shù)列極限的不同求法，例如：極限定義求法、極限運算法則法、夾逼準則求法、單調有界定理求法、函數(shù)極限法、定積分定義法、 Stoltz公式法、幾何算術平均收斂公式法、級數(shù)法、收縮法等等 .我們還會發(fā)現(xiàn)同一數(shù)列極限可用不同方法來求 . 最后我們還簡要介紹了數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應用，如幾何中推算圓面積，求方程的數(shù)值解，研究市場經營的穩(wěn)定性及購房按揭貸款分期償還問題 .通過這些應用使我們對數(shù)列極限有一個更系統(tǒng)立體的了解 . 關鍵詞 N?? 定義；夾逼準則； Stoltz 公式；函數(shù)極限 On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N?? language and AN? language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We39。ll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. Key Words N?? definition。 Squeezing law。 Stoltz formula。 Function limits 目 錄 第一章 數(shù)列極限的概念 ................................. 1 數(shù)列極限的定義及分類 .............................. 1 數(shù)列極限求法的常用定理 ............................ 2 第二 章 數(shù)列極限的求法 .................................. 4 極限定義求法 ...................................... 4 極限運算法則法 .................................... 5 夾逼準則求法 ...................................... 6 單調有界 定理求法 .................................. 8 函數(shù)極限法 ........................................ 9 定積分定義法 ..................................... 10 Stoltz 公式法 ..................................... 11 幾何算術平均收斂 公式法 ............................ 12 級數(shù)法 ........................................... 13 其它方法 ........................................ 15 第三章 數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應用 ..................... 17 幾何應用 計算 面積 ................................ 17 求方程的數(shù)值解 ................................... 18 市場經營中的穩(wěn)定性問題 ............................ 19 零增長模型 .................................. 19 不變增長 模型 ................................ 20 購房按揭貸款分期償還 .............................. 21 第四章 結 論 ......................................... 23 致 謝 .............................................. 24 參考文獻 ............................................. 24 1 數(shù)列極限的求法及其應用 學號： 071106132 作者：楊少鮮 指導老師：董建偉 職稱：講師 第一章 數(shù)列極限的概念 在研究數(shù)列極限解法之前，首先我們要清楚數(shù)列極限的定義 .這是對數(shù)列極限做進一步深入研究的先決基礎 . 數(shù)列極限的定義及分類 數(shù)列極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產生的 .如，我國古代數(shù)學家劉徽（公元 3 世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法 — 割圓術 .因一系列圓內接正多邊形的面積 nA 在 n 無限增大（ n?? ）時，內接正多邊形無限接近于圓，同時 nA 也無限接近于某一確定的數(shù)，此時這一數(shù)值可精確表達圓的面積 .在解決類似的實際問題中逐步的引出了數(shù)列極限 . 針對不同的數(shù)列極限我們對其定義將會有細微的不同，下面主要介紹兩 種定義： N?? 定義， AN? 定義 . 定義 1（ N?? 語言） ：設 ??na 是個數(shù)列， a 是一個常數(shù)，若 0???， ? 正整數(shù) N ，使得當 nN? 時，都有 naa???，則稱 a 是數(shù)列 ??na 當 n 無限 2 增大時的極限，或稱 ??na 收斂于 a ，記作 limnn aa??? ?，或 ? ?na a n? ? ??.這時，也稱 ??na 的極限存在 . 定義 2（ AN? 語言） ：若 0A ? ,? 正整數(shù) N ，使得當 nN? 時，都有 naA? ,則稱 ?? 是數(shù)列 ??na 當 n 無限增大時的非正常極限，或稱 ??na 發(fā)散于?? ，記作 limnn a??? ???或 ? ?nan? ?? ? ??，這時，稱 ??na 有非正常極限 . 對于 ,??? 的定義類似，就不作介紹了 .為了后面數(shù)列極限的解法做鋪墊，我們先介紹一些常用定理 . 數(shù)列極限求法的常用定理 定理 （數(shù)列極限的四則運算法則） 若 ??na 和 ??nb 為收斂數(shù)列，則 ? ? ? ? ? ?,n n n n n na b a b a b? ? ?也都是收斂數(shù)列， 且有 ? ?? ?l i m l i m l i m ,l i m l i m l i m .n n n nn n nn n n nn n na b a ba b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 若再假設 0nb? 及 lim 0nn b?? ?，則 nnab??????也是收斂數(shù)列，且有 lim lim / limn nnn n n