【正文】 而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解 決 .求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的 .對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧 . 極限是數(shù)學分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài) ]1[ .早在中國古代，極限的樸素思想和應用就已在文獻中有記載 ,例如，魏晉時期中國數(shù)學家劉徽的“割圓術 ” 的數(shù)學思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想 .在數(shù)學分析中的許多基本概念，都可以 用極限來描述 .如函數(shù)連續(xù)的定義 ，導數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級數(shù)收斂的定義， 都是用極限來定義的 .極限是研究數(shù)學分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學分析的一條主線 .本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進行綜述，歸納出計算極限的一般流程 .計算極限所用的方法，是致力于把所求極限 簡化為已知極限 . 求極限的方 法遠遠不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展 ,只限于數(shù)學分析 .希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個高度的總括，計算極限時游刃有余 . 4 第 4 頁 共 20 頁 2 函數(shù) 極限的概念及 性質 函數(shù)極限的概念 定義 1 設 f 為定義在 ? ?,a?? 上的函數(shù)， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存在正數(shù) M ? ?0a? ，使得當 xM? 時有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當 x 趨于 ?? 時以 A為極限，記作 ? ?limx f x A??? ? 或 ? ? ? ?f x A x? ? ?? 定義 2 （函數(shù)極限的 ??? 定義） 設函數(shù) f 在點 0x 的某個空心鄰域? ?039。0。Ux? 內(nèi)有定義， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存在正數(shù) ? ?39。??? ，使得00 xx ?? ? ? 時有 ? ?f x A ??? 則稱函數(shù) f 當 x 趨于 0x 時以 A為極限，記作 ? ?0limxxf x A? ? 或 ? ? ? ?0f x A x x?? 定義 3 設函數(shù) f 在 ? ?039。0。Ux?? （或 ? ?039。0。Ux?? ）內(nèi)有定義， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存 在正數(shù) ? ?39。??? ，使得當 00x x x ?? ? ? （或 00x x x?? ? ? ）時有 ? ?f x A ??? 則稱數(shù) A 為函數(shù) f 當 x 趨于 0x? （或 0x? ）時的右（左）極限，記作 ? ?0limxxf x A?? ? （ ? ?0limxxf x A?? ?） 或 ? ? ? ?0f x A x x??? （ ? ? ? ?0f x A x x???） 5 第 5 頁 共 20 頁 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側極限 . f 在點 0x 的右極限與左極限又分別記 為 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x???? 與 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x????. 函數(shù)極限的性質 定理 1（唯一性） 若極限 ? ?0limxxfx?存在，則 f 在 0x 的某空心鄰域 ? ?0 0Ux內(nèi)有界 . 定理 2（局部保號性）若 ? ?0lim 0xx f x A? ?? （或 0? ），則對任何正數(shù) rA? （或rA?? ），存在 ? ?0 0Ux，使得對一切 ? ?0 0x U x? 有? ? 0f x r??（或 ? ? 0f x r?? ? ） . 定理 3（保不等式性） 設 ? ?0limxxfx? 與 ? ?0limxxgx?都存在，且在某鄰域 ? ?039。0。Ux? 內(nèi)有 ? ? ? ?f x g x? ，則 ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x??? 定理 4 （迫斂性） 設 ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x A????，且在某鄰域 ? ?039。0。Ux? 內(nèi)有? ? ? ? ? ?f x h x g x??，則 ? ?0limxxh x A? ? 定理 5（四則運算法則） 若極限 ? ?0limxxfx?與 ? ?0limxxgx?都存在，則函數(shù) fg? ，fg? 當 0xx? 時極限也存在 . 6 第 6 頁 共 20 頁 3 函數(shù) 極限的求解方法 利用兩個準則求極限 (1)極限的迫斂性 [1] （夾逼原理），對數(shù)列和函數(shù) 同樣適用： 設 Axgxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00，且在某 )39。( 00 ?xU 內(nèi)有 )()()( xgxhxf ?? 則 Axhxx ?? )(lim0 利用夾逼原理求極限，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)， )()()( xgxhxf ?? . 例 coslimxxxx??? 解： 因為 1 cos 1x? ? ? ，所以當 x ＜ 0時 1 1 c o s 1 111x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 而 11lim 1 lim 1 1xxxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由迫斂性定理得， coslimxxxx??? =1 例 3. 2 求2sinlim 4x xxx??? ? 解： 因為當 x ＞ 2時，2 2 2s in4 4 4x x x xx x x? ??? ? ? 而221lim lim 0441xxx xxx? ?? ? ????????，2lim 04x xx??? ?? 由迫斂性定理知 2sinlim 4x xxx??? ?=0 7 第 7 頁 共 20 頁 （ 2）單調有界定理 [2] 設 ??fx為定義在 ? ?00Ux?[或 ? ?00Ux?]上的單調有界函數(shù)，則 ? ?0limxxfx??存在[或 ? ?0limxxfx??存在 ] 利用極限的四則運算求極限 極限的四則運算法則 [4] ： 若 Axfxx ?? )(lim0， Bxgxx ?? )(lim0 （ 1） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 2） BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(l i m)(l i m)]()([l i m 000 （ 3）若 0?B 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 （ 4） cAxfcxfcxxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c為常數(shù)） 上述性質對于 ???????? xxx , 時也同樣成立 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進行極限的四則運算，首先對函數(shù)實行各種恒等變形 . 例 求極限 ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ?? 解： ? ?22lim 2 s in c o sx x x x?? ??=2 2 2 2 2l i m 2 l i m si n l i m c os l i m l i mx x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??? = 2 22 s in c o s