淺析函數(shù)極限求法的所有專業(yè)(文件)
【正文】 穿 在 全部內(nèi)容之中 , 因此，掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，而 函數(shù)極限的求法可謂是多種多樣 .首先本文先給出了 函數(shù) 極限的定義 及其性質(zhì)； 其次 歸納和總結(jié)了 函數(shù) 極限 的 若干 求法，并舉例分析 ； 最后給出了求函數(shù)極限的流程圖，也就是求函數(shù)極限的思路、步驟，使初學(xué)者能較快地掌握求函數(shù)極限方法 . 關(guān)鍵詞 ： 極限 ； 導(dǎo)數(shù) ； 洛必達法則 ；泰勒 公式 1 第 1 頁 共 20 頁 RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMIT ABSTRACT Mathematical analysis of the limit has been a focus of content, and runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by defining the to understand what is the limit of sequence and function。 L’hospital’s rule。Ux? 內(nèi)有定義， A 為定數(shù) .若對任給的 0?? ，存在正數(shù) ? ?39。0。Ux? 內(nèi)有 ? ? ? ?f x g x? ，則 ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x??? 定理 4 （迫斂性） 設(shè) ? ? ? ?00lim limx x x xf x g x A????，且在某鄰域 ? ?039。( 0)( ?? x xA x ??? exB xx ???? )()( ))(11(lim)39。lim0（ A 可為實 數(shù)，也可為 ?? 或 ? ），則 Axg xfxg xf xxxx ?? ?? )(39。 )(39。39。 證明 1 11 1 0 1 0 1 011 11n n p nn p n p kn p n k kk n k n r r rx x x x r x x x x x xrr??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? 應(yīng)用柯西準(zhǔn)則，知 ??nx 收斂。如例 也可以這么來證明。 2 2 2( 1 ) ( 2 ) 1 1() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )xxfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?， 39。若有無窮因子，可通過衡等變化去無窮因子 . ② 如果沒有，則應(yīng)用洛必達法則，再回到第一步進行是否連續(xù)的判斷； ⑵ 如果不是，則是形如 ,0?cc c? 的極限，顯然可直接得出答案； 如果不是)()(xgxf，接著判斷是不是 )()( xgxf ? ⑴ 如果是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 ??0 ① 如果是，則轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則是形如 MM ??? ,0 的極限，顯然可直接得出答案； ⑵ 如果不是 )()( xgxf ? ，接著判斷是不是 )()( xgxf 的形式 ① 如果是，應(yīng)用自然對數(shù)法求極限，則可轉(zhuǎn)到 ； ② 如果不是，則判斷是不是 ??? 的形式 (如果是，通分可后轉(zhuǎn)到 2.。 因為1 2() 1nnn nxx f x x? ??? ?，設(shè) limnn xa?? ?， 對兩邊取極限得 21aa a?? ? 所以 2a? ， 2? 不合題意（由極限的保號性可知） 所以 limnn x?? 2? 18 第 18 頁 共 20 頁 4 求極限的一般流程 一般流程圖如下所示： 19 第 19 頁 共 20 頁 圖 1 求函數(shù)極限流程圖 求函數(shù)極限的方法較多 ,但是每種方法都有其局限性 ,都不是萬能的 .對某個具體的求極限的問題 ,我們應(yīng)該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中 ,必然以相 關(guān)的概念、定理及公式為依據(jù) ,并借助一些重要的方法和技巧 . 對求函數(shù)極限流程圖的說明 N Y N 通分 Y N Y Y N Y N N N Y N Y Y N Y N Y 輸入 )(xf 連續(xù) 輸出 gf 00 有零因式 去零因式 gf? ?? ??0 洛必達法則 有無窮大因式 去無窮大因式 00????cc ???? ?? MM 00 gf ??? 利用其他方法求極限 20 第 20 頁 共 20 頁 1. 判斷函數(shù)是否連續(xù)，若連續(xù)直接用極限的四則運算解之，如例 ；。 22( ) 122fx x? ? ?， 則它滿足壓縮定理的條件，故 ??nx 收斂。( ) 1f x r??成立，利用微分中值定理： 17 第 17 頁 共 20 頁 39。)0()( 2 xRxnfxfxffxf nnn ?????? ?? 1)1( )!1( )()( ???? nnn xnfxR ? （其中 ? 在 0 與 1 之間） 例 求極限4202coslim x exxx??? 16 第 16 頁 共 20 頁 解： 泰 勒展開式 )(!4!21c os 442 xOxxx ???? )()2(!21)2(1 422222 xOxxe x ??????? 于是 )(121c os 4422 xOxex x ???? ? 所以4202coslim x exxx??? = 121)(121lim4440 ????? xxOxx 利用壓縮定理 定理 （壓縮定理）： 1 對于任意數(shù)列 ??nx 而言，若存在常數(shù) r ，使得 nN?? ， 恒有 11n n n nx x r x x??? ? ?， 01r??， 則數(shù)列 ??nx 收斂 2 特別，若數(shù)列 ??nx 利用遞推公式給出： 1 ( ) ( 1, 2 , 3 )nnx f x n? ? ? ???，其中 f 為某一可微函數(shù)，且 rR?? ，使得 39。 )(39。lim)( )(lim 00 ?? 型不定式極限 定理：若 函數(shù) f 和 g 滿足： （ 1） ????? ?? )(lim)(lim 00 xgxf xxxx； （ 2）在點 0x 的某右空心鄰域 )( 00 xU? 內(nèi)兩者 都可導(dǎo)，且 0)(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。Ux? 內(nèi)有? ? ? ? ? ?f x h x g x??，則 ? ?0limxxh x A? ? 定理 5（四則運算法則） 若極限 ? ?0limxxfx?與 ? ?0limxxgx?都存在，則函數(shù) fg? ，fg? 當(dāng) 0xx? 時極限也存在 . 6 第 6 頁 共 20 頁 3 函數(shù) 極限的求解方法 利用兩個準(zhǔn)則求極限 (1)極限的迫斂性 [1] （夾逼原理），對數(shù)列和函數(shù) 同樣適用： 設(shè) Axgxfxxxx ??
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