【正文】 ?? )(lim)(lim 00，且在某 )39。??? ，使得當 00x x x ?? ? ? （或 00x x x?? ? ? ）時有 ? ?f x A ??? 則稱數(shù) A 為函數(shù) f 當 x 趨于 0x? （或 0x? ）時的右（左）極限，記作 ? ?0limxxf x A?? ? （ ? ?0limxxf x A?? ?） 或 ? ? ? ?0f x A x x??? （ ? ? ? ?0f x A x x???） 5 第 5 頁 共 20 頁 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側極限 . f 在點 0x 的右極限與左極限又分別記 為 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x???? 與 ? ? ? ?00 0 limxxf x f x????. 函數(shù)極限的性質 定理 1（唯一性） 若極限 ? ?0limxxfx?存在，則 f 在 0x 的某空心鄰域 ? ?0 0Ux內(nèi)有界 . 定理 2（局部保號性）若 ? ?0lim 0xx f x A? ?? （或 0? ），則對任何正數(shù) rA? （或rA?? ），存在 ? ?0 0Ux，使得對一切 ? ?0 0x U x? 有? ? 0f x r??（或 ? ? 0f x r?? ? ） . 定理 3（保不等式性） 設 ? ?0limxxfx? 與 ? ?0limxxgx?都存在，且在某鄰域 ? ?039。0。 Taylar exhibition type 2 第 2 頁 共 20 頁 目 錄 1 前言 ......................................................................................................................... 3 2函數(shù)極限的概念及性質 .............................................................................................. 4 函數(shù)極限的概念 ............................................................................................... 4 函數(shù)極限的性質 ............................................................................................... 5 3函數(shù)極限的求解方法 ................................................................................................. 6 利用兩個準則求極限 ....................................................................................... 6 利用極限的四則運算求極限 ............................................................................ 7 利用兩個重要極限公式求極限 ......................................................................... 8 利用洛必達法則求極限 ................................................................................... 9 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 ................................................................................. 10 通過等式變形化為已知極限 .......................................................................... 10 利用換元法求極限 ........................................................................................ 11 利用自然對數(shù)法求極限 ......................................................................... 11 利用因式分解法求極限 ................................................................................. 12 利用壓縮定理 ............................................................................................. 16 4 求極限的一般流程 .................................................................................................. 18 結論 ........................................................................................................................... 21 參考文獻 .................................................................................................................... 22 致謝 ........................................................................................................................... 23 3 第 3 頁 共 20 頁 1 前言 極限研究的是變量在變化過程中的趨勢問題 .數(shù)學分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限 .兩類極限的本質上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例 .因此，本文只就函數(shù)極限進行討論 .函數(shù)極限運算是高等數(shù)學的一個重要的基本運算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運用“極限四則運算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解 決 .求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的 .對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法 .在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧 . 極限是數(shù)學分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài) ]1[ .早在中國古代，極限的樸素思想和應用就已在文獻中有記載 ,例如，魏晉時期中國數(shù)學家劉徽的“割圓術 ” 的數(shù)學思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想 .在數(shù)學分析中的許多基本概念，都可以 用極限來描述 .如函數(shù)連續(xù)的定義 ，導數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級數(shù)收斂的定義， 都是用極限來定義的 .極限是研究數(shù)學分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學分析的一條主線 .本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進行綜述，歸納出計算極限的一般流程 .計算極限所用的方法，是致力于把所求極限 簡化為已知極限 . 求極限的方 法遠遠不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展 ,只限于數(shù)學分析 .希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個高度的總括，計算極限時游刃有余 .