淺談求函數(shù)極限的方法-全文預(yù)覽
【正文】 11 11 11 則 2l l a?? .因?yàn)?0ny? 解方程得 1 4 12al ??? 所以 1 4 1lim 2nx ayl?? ???? 利用等價(jià)無(wú)窮小 量替換來(lái)求極限 為了將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)適當(dāng)引入新變量以替換原有的變量，使原來(lái)的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程。用歸納法可證。 ） 10 10 10 例 ： 2 2 21 1 1......11nx n n n n? ? ? ?? ? ? 求 nx 的極限 解 ：因?yàn)?nx 單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 2 2 2 21 1 1......1 1 1n nx n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1......1 1 1n nx n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則221 1nn xn n n???? 又因?yàn)?2li m li m 11xxnnn n n? ? ? ????? 221l im l im ( ) 01 4 1l im2n n nxxnxy y a l l a yayl?? ? ? ???? ? ? ? ????? 定義 ： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式： )(!!21 2 nnx xonxxxe ?????? ?? )()!12()1(!5!3s i n 212153 nnn xonxxxxx ???????? ???? )()!2()1(!4!21c o s 12242 ???????? nnn xonxxxx ?? )()1(2)1l n ( 12 nnn xonxxxx ??????? ??? )(! )1()1(!2 )1(1)1( 2 nn xoxn nxxx ??????????? ??????? ?? )(xx1 1 1 2 nn xoxx ??????? ?? 上述展開(kāi)式中的符號(hào) )( nxo 都有 : 0)(lim0 ?? nnx xxo 例 : 求 )0(2lim0 ????? axxaxax 解 :利用泰勒公式，當(dāng) 0?x 有 )(211 xoxx ???? 于是 x xaxax????2lim0 = x axaxax)121(lim0???? 9 9 9 = x xoaxxoaxax?????? ???????)(211)()2(211lim 0 =axxoxaxxoaxaxx 21)(21l im)(2l im 00 ????? ?? 小結(jié)：此類題型考驗(yàn)的是我們對(duì)泰勒展式的熟悉程度 ，因此解決此類題目要十分熟悉泰勒展式的結(jié)構(gòu)以及用途 。lim 39。lim 39。xxee? ， ? ?3239。 例 sin ,0()1 , 0x x xfx xx?? ?? ?? ??? 求 ()fx在 0x? 的極限 解 0lim1 1x?? ?? 0lim 1sinxxx?? ? 00lim ( ) lim ( ) 1xxf x f x?????? 5 5 5 0lim ( ) 1x fx? ? 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求極限 定理 ：若極限 )(lim0xfxx? 和 )(lim xgxx? 都存在，則函數(shù) )(xf ? )(xg ， )()( xgxf ? 當(dāng) 0xx? 時(shí)也存在且 (1) ? ? )()()()( limlimlimxgxfxgxf xxxxx ??? ??? (2) ? ? )()()()( li mli mli m000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??? (3)又若 0)(lim0?? xgxx ，則 )()(xgxf 在 0xx? 時(shí)也存在，且有 )()()()( limlimlim000 xgxfxgxfxxxxxx???? 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如 ?? 、 00 等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。? ），使得當(dāng) 0???oxx 時(shí)有 () ???f x A ，則稱函數(shù) f 當(dāng) 0趨 于xx時(shí)以 A 為極限 ,記作 0lim ( )? ?xxf x A 或 ()f x A? ? ?0?xx. 定義 ： 設(shè) f 為定義在 ? ?,a?? 上的函數(shù) ,A 為定數(shù) .若對(duì)任給的 0?? ，存在正 數(shù) ? ?Ma? ,使得當(dāng) xM? 時(shí)有 ()f x A ???， 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 ?? 時(shí)以 A 為極限 ,記作 lim ( )x f x A??? ? 或 ()f x A? ? ?x??? . 對(duì)于其他形式函數(shù)極限的定義我就用 ? ? 語(yǔ)言描述 定義 ： 4 4 4 )(lim0 xfxx?=A: ,0,0 ???? ?? 當(dāng) ? x 0x 0 時(shí)， |f（ x） A |? )(lim0 xfxx ??=A: ,0,0 ???? ?? 當(dāng) 0 x 0x ? 時(shí)， |f（ x） A |? :)(lim Axfx ???,0,0 ???? M? 當(dāng) |x|M 時(shí)， |f（ x） A |? :)(lim Axf
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