淺談求函數(shù)極限的方法(文件)
【正文】 1 2 3l im ( 0)p p p ppn n pn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 : )0(321lim1 ????? ???? pn npppppn??11lim ( )n pn iinn??? ?? 設(shè) pxxf ?)( ,則 )(xf 在 ? ?0,1 內(nèi)連續(xù) , ],1[,1 ninininx ii ????? ?取 所以 , pi nif )()( ?? 所以原式 ?1110 ??? pdxx p 難點(diǎn)：定積分的概念，上限函數(shù)，定積分的換元法。 ) 例 ： 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 兩端除以 ny 得 1n nay y?? 因?yàn)?1ny y a?? 則na ay ? , 從而 11na ay ? ? ? 1na y a? ? ? 即 ny 是有界的。 定義 ： 所謂等價(jià)無窮小量即 ()lim 1()x fxgx?? ?稱 )(xf 與 )(xg 是 0xx? 時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作 )(xf )(~ xg . )( 0xx? . 定理 ： 設(shè)函數(shù) )(),(),( xhxgxf 在 )( 00 xu 內(nèi)有定義，且有 )(xf )(~ xg . )( 0xx? 0lim ( )h ( )xx f x x A? ?則0lim h( ) ( )xx x g x A? ? 0x()lim ()xhx Bfx? ?則0x()lim ()xhx Bgx? ? 由該定理就可利用等價(jià)無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限 例 求30 tan sinlim sinx xxx? ?的極限 解 由 ).c o s1(c o ss ins int a n xxxxx ??? 而 )0(,~sin ?xxx ； ,2~cos1 2xx? ( 0)x? ； 33sin xx ? 3~x , ( 0)x? . 故有23300ta n sin 1 12l im l imsin c os 2xxxxxxx x x???? ? ? ? 注 1 由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無窮小量： ? ?sin ~ 0x x x ? ， ? ?tan ~ 0x x x ?， ? ?21 co s ~ 02xxx??， ? ?arcsin ~ 0x x x ?， ? ?arctan ~ 0x x x ?， ? ?1 ~ 0xe x x??， ? ? ? ?ln 1 ~ 0x x x??，? ? ? ?1 1 ~ 0x x x? ?? ? ? ? 注 2 在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除 12 12 12 的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換， 而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換 。 例 求11lim lnxxxxx?? 解 令 1xtx?? 則 ln ln( 1)x x t?? 1)1l n (1lim)1ln (limln 1lim 001 ?????? ???ttttxxx ttxx 10． 用歸結(jié)原理求極限 歸結(jié)原則 ： 設(shè) f 在 ? ?0 0。Ux? 且以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ，極限 ? ?lim nn fx?? 都存在且相等． 例 求極限211lim 1nn nn?????????? 分析： 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令 ? ? 21211 xxxux x ??????????， ? ? 1xvx x?? 求解． 解： 令 ? ? 21211 xxxux x ??????????， ? ? 1xvx x?? 則有 ? ?limx u x e??? ? ； ? ?lim 1x vx??? ? ， 由冪指函數(shù)求極限公式 得 ? ? ? ?211l i m 1 l i mx vxxx u x exx? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ， 故由歸結(jié)原則得 221 1 1 1l i m 1 l i m 1nxnx en n x x?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 注 1 歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理，對于 0xx?? ， 13 13 13 0xx?? ， x??? 和 x??? 這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式． 注 2 若可找到一個(gè)以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ，使 ? ?limnn fx??不存在，或找到兩個(gè)都以 0x 為極限的數(shù)列 ??39。limnn fx??與 ? ?limnn fx??都存在而不相等，則 ? ?0limxxfx?不存在． 11 總結(jié) 以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方法。達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會熟能 生巧，在做題時(shí)得心應(yīng)手。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。39。Ux? 內(nèi)有定義， ? ?0limxxfx?存在的充要條件是：對任何含于? ?0 0。 小結(jié) 在求解極限的時(shí)候要特別注意無窮小 量 等價(jià)替換 ,無窮小 量 等價(jià)替換可以很好的簡化解題。 令 limnx yl?? ?則 21lim lim ( )nnxxy y a??? ????
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