反函數(shù)的存在性及求法-全文預(yù)覽
【正文】 明 取任意 則因為 故,即為嚴格減函數(shù),根據(jù)定理1得,存在反函數(shù). 反函數(shù)存在性判定（二）當?shù)膯握{(diào)性利用單調(diào)性的定義不容易確定時,這條定理就無能為力了,例如判斷是否存在反函數(shù),根據(jù)定理1,取任意,則雖然,但的符號很難判斷,也就無法判斷的單調(diào)性,下面我們給出判定反函數(shù)存在的其他方法.定理（反函數(shù)存在性定理）若在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)且,則一定能在的某鄰域內(nèi)存在反函數(shù).證明 在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則在的這個鄰域內(nèi)是連續(xù)函數(shù),又即則在的某個鄰域內(nèi)是嚴格增（減）函數(shù),根據(jù)定理1,可得定能在的某個鄰域內(nèi)存在反函數(shù).由定理2再判斷是否存在反函數(shù),因為,所以,根據(jù)定理2 存在反函數(shù).定理3 函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)的映射是一一映射.這條定理可直接由反函數(shù)的定義2得出,這種一一映射的關(guān)系可以在函數(shù)圖像上反映出來.推論2 函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是直線與函數(shù)的圖像最多有一個交點.注5 對于推論的理解,可以設(shè)的值域為,則當時,（為常數(shù)）與有且僅有一個交點；當時,大量減少代數(shù)運算.例題7 判斷雙曲余弦函數(shù)和雙曲余切函數(shù)在其定義域上是否存在反函數(shù).解 雙曲余弦函數(shù)和雙曲余切函數(shù)都是初等函數(shù),畫出它們的圖像分別為: 當時,直線與有兩個交點,當時,與沒有交點,當時,與有且僅有一個交點,根據(jù)定理3推論,雙曲余切函數(shù)在定義域上存在反函數(shù).3 反函數(shù)的求法 反函數(shù)的一般求法函數(shù)的反函數(shù)的一般求法為根據(jù)反函數(shù)的定義1,由原函數(shù)的解析式反解出,求反函數(shù)的具體步驟歸納如下:（1） 定值域 求出的值域,是防止解出反函數(shù)的解析式之后,忘記求它的定義域.（2） 反解 根據(jù)反函數(shù)的定義1,將看做的方程,直接解出的表達式.（3） 對調(diào) 將中的和直接對調(diào),(1)的求解,注明其定義域即可.以上步驟對于求解一次函數(shù)、特殊定義域上的二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)及簡單的無理函數(shù)、分數(shù)函數(shù)等的反函數(shù)都行之有效,便于掌握,是很基礎(chǔ)也很重要的方法.例題8 求下列函數(shù)的反函數(shù).（1） 。 （2）.解 （1）令,根據(jù)三角函數(shù)的反函數(shù)求解,則,有,因為,所以,原式. （2）令,根據(jù)三角函數(shù)的反函數(shù)求解,則,有,代入后兩邊平方得:,解得,因為,所以原式.定義 已知函數(shù)定義域被分成有限個區(qū)間,若在各個區(qū)間上對應(yīng)法則一樣,但單獨定義各個區(qū)間公共端點處的函數(shù)值；或者在各個區(qū)間上對應(yīng)法則不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).分段函數(shù)的反函數(shù)也是一個分段函數(shù),在求分段函數(shù)的反函數(shù)時,先求不同對應(yīng)法則下的獨立的反函數(shù),并標注下每一段反函數(shù)的定義域,再合并成一個分段函數(shù).例題11 已知函數(shù)的反函數(shù),求的值.解 第一段函數(shù)的值域為,反解出得,故其反函數(shù)為；第二段函數(shù)的值域為,反解出得,故其反函數(shù)為；綜上可得函數(shù),當時,.定理 設(shè)函數(shù),若與都存在反函數(shù),分別為與,那么復(fù)合函數(shù)存在反函數(shù)且反函數(shù)為.證明 設(shè)復(fù)合函數(shù)的定義域為,則,.因為,所以,取任意,因為存在反函數(shù),根據(jù)反函數(shù)的定義2有,.同理可得,即,根據(jù)反函數(shù)的定義2得,存在反函數(shù).把看做對應(yīng)法則下的自變量,求反函數(shù)得,再把看做對應(yīng)法則下的自變量,求的反函數(shù)得,將和對調(diào)得函數(shù)的反函數(shù)為.注6 （1）,即原函數(shù)向左平移個單位時,它的反函數(shù)向下平移個單位
物理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1