反函數(shù)的存在性及求法(編輯修改稿)
2024-09-01 04:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 同解,題目可化為方程無解,令解出.例題4 解方程.分析 若用傳統(tǒng)方法將方程化為,我們發(fā)現(xiàn)令,則的反函數(shù)為,上述方程就是求這兩個函數(shù)圖像的交點橫坐標,由于兩函數(shù)為增函數(shù),則可化為,解這個方程得,因為,故即是原方程的解.例題5 求與其反函數(shù)的交點坐標.解 首先,在其定義域上為減函數(shù),聯(lián)立方程,解得,交點坐標為（0,0）,（1,1）,（1,1）.性質 連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).性質 如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)、可導且,并且存在反函數(shù),那么它的反函數(shù)在對應的區(qū)間內(nèi)也可導,且有,即反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).證明詳細參見參考文獻[3].2 反函數(shù)存在性的判定 反函數(shù)存在性判定（一）并非所有函數(shù)都有反函數(shù),對于函數(shù)的反函數(shù)的存在性的判定,有以下結論:定理 嚴格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù).證明 設在數(shù)集上有定義,值域為,且為上的嚴格增（減）函數(shù),由函數(shù)的定義得:,因為為上的嚴格增（減）函數(shù),所以 即當時,有,這就證明了嚴格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù).注4 這條定理是充分不必要的,即存在反函數(shù)的函數(shù)不一定是嚴格單調(diào)的,非嚴格單調(diào)的函數(shù)也可能存在反函數(shù),例如在整個定義域上不是嚴格單調(diào)的,但它有反函數(shù),且它為自反函數(shù).推論1 當連續(xù)時,嚴格單調(diào)是函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件.例題6 證明函數(shù)存在反函數(shù).證明 取任意 則因為 故,即為嚴格減函數(shù),根據(jù)定理1得,存在反函數(shù). 反函數(shù)存在性判定（二）當?shù)膯握{(diào)性利用單調(diào)性的定義不容易確定時,這條定理就無能為力了,例如判斷是否存在反函數(shù),根據(jù)定理1,取任意,則雖然,但的符號很難判斷,也就無法判斷的單調(diào)性,下面我們給出判定反函數(shù)存在的其他方法.定理（反函數(shù)存在性定理）若在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導函數(shù)且,則一定能在的某鄰域內(nèi)存在反函數(shù).證明 在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導函數(shù),則在的這個鄰域內(nèi)是連續(xù)函數(shù),又即則在的某個鄰域內(nèi)是嚴格增（減）函數(shù),根據(jù)定理1,可得定能在的某個鄰域內(nèi)存在反函數(shù).由定理2再判斷是否存在反函數(shù),因為,所以,根據(jù)定理2 存在反函數(shù).定理3 函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)的映射是一一映射.這條定理可直接由反函數(shù)的定義2得出,這種一一映射的關系可以在函數(shù)圖像上反映出來.推論2 函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是直線與函數(shù)的圖像最多有一個交點.注5 對于推論的理解,可以設的值域為,則當時,（為常數(shù)）與有且僅有一個交點；當時,大量減少代數(shù)運算.例題7 判斷雙曲余弦函數(shù)和雙曲余切函數(shù)在其定義域上是否存在反函數(shù).解 雙曲余弦函數(shù)和雙曲余切函數(shù)都是初等函數(shù),畫出它們的圖像分別為: 當時,直線與有兩個交點,當時,與沒有交點,當時,與有且僅有一個交點,根據(jù)定理3推論,雙曲余切函數(shù)在定義域上存在反函數(shù).3 反函數(shù)的求法 反函數(shù)的一般求法函數(shù)的反函數(shù)的一般求法為根據(jù)反函數(shù)的定義1,由原函數(shù)的解析式反解出,求反函數(shù)的具體步驟歸納如下:（1） 定值域 求出的值域,是防止解出反函數(shù)的解析式之后,忘記求它的定義域.（2） 反解 根據(jù)反函數(shù)的定義1,將看做的方程,直接解出的表達式.（3） 對調(diào) 將中的和直接對調(diào),(1)的求解,注明其定義域即可.以上步驟對于求解一次函數(shù)、特殊定義域上的二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)及簡單的無
物理相關推薦
鄂ICP備17016276號-1