淺析函數(shù)極限求法的所有專業(yè)(存儲(chǔ)版)
【正文】 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 （ 1）若 )(xf 在 0xx? 處連續(xù)，則 )()(lim00 xfxfxx ?? （ 2）若 )]([ xf ? 是復(fù)合函數(shù)，又 axxx ?? )(lim0?且 )(uf 在 au? 處連續(xù)，則)()](l i m[)]([l i m 00 afxfxf xxxx ?? ?? ?? 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限 .如果 )(xgu? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) 00)( uxg ? ，而)( ufy ? 在點(diǎn) 0u 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) )]([ xgfy? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) . 即)]([)](l i m[)]([l i m 000 xgfxgfxgf xxxx ?? ?? . 例 求極限 xx x)11ln(lim ??? 解： 令 uy ln? ， xxu )11( ?? 因?yàn)?uln 在點(diǎn) exu xx ??? ?? )11(lim0 處連續(xù) 所以 xx x)11ln(lim ??? = ])11(limln[ xx x??? = 1ln ?e 通過等式變形化為已知極限 要點(diǎn)：當(dāng)極限不宜直接求出時(shí)，可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)牡仁阶冃?，得到已知極限的新變量 . 11 第 11 頁(yè) 共 20 頁(yè) 例 求極限 1lim ? ????? xxxxx 解： 1lim ? ????? xxxxx=xxxxx 11111lim73??????=0 利用換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求 . 例 求極限 xxxxx ln1lim1?? 解： 令 1?? xxt ，則 )1ln(ln ?? txx xxxxx ln1lim1 ?? = 111lim)1ln (lim 00 ???? ?? t ttttt 利用自然對(duì)數(shù)法求極限 自然對(duì)數(shù)法：把形如 )()( xgxf 通過恒等變形寫成 )(ln)( xfxg 的形式 ,改為求 00 或 ?? 不定式的極限 . 例 求極限 xx xx cos1 10 )sin(lim ?? 解： 用自然對(duì)數(shù)法，令 y= xxx cos1 1)sin( ? 取自然對(duì)數(shù)得 x xxy s inlnc os1 1ln ?? 12 第 12 頁(yè) 共 20 頁(yè) 2s i nlnl i ms i nlnc os1 1l i m 200 x xxxxx xx ?? ??? = x x xxxxxx20s inc o ss inlim??? =3020 s i nc osl i ms i n s i nc osl i m x xxxxx xxx xx ??? ?? =313sinlim 20 ???? x xxx 31c os1 10 )s in(lim ??? ?? ex x xx 利用因式分解法求極限 要點(diǎn)：如果可以通過因式分解將變量化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限 . 例 就極限2s in3s in 1s in3s in4lim 222 ????? xxxxx ? 解 ： 222224 si n 3 si n 1li msi n 3 si n 2( 4 si n 1 ) ( si n 1 )li m( si n 2) ( si n 1 )4 si n 1li m 5si n 2xxxxxxxxxxxxx????????????????? ? ??= 利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限 當(dāng) 0?x 時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮?。O限為 0）且相互等價(jià)， xx sin~ ， xx arcsin~ ， xx tan~ ， xx arctan~ ， 1~ ?xex ， )1ln(~ xx ? ，axax ln~1? ， xx ?? ~1)1( ?? 設(shè)函數(shù) hgf , 在 )( 00 xU 內(nèi)有定義，且有 13 第 13 頁(yè) 共 20 頁(yè) )(~)( xgxf )( 0xx? . (1)若 Axhxfxx ?? )()(lim0，則 Axhxgxx ?? )()(lim0 (2)若 Bxf xhxx ?? )( )(lim0，則 Bxg xhxx ?? )( )(lim0 注：在用等價(jià)無(wú)窮小求極限過程，不是乘除的情況，不一定能這樣做 . 例 求極限3340 )2(sinlim xxxx ?? 解： 3340 )2(sinlim xxxx ?? = 88lim)2(lim 3 3403340 ?????? xxxxxxxx 例 0lim 1 ta n 1 s inx xx? ? ? ?試確定 ? 的值，使 0x? 時(shí)為同階無(wú)窮小量 解： 因?yàn)?1 ta n 1 si nxx? ? ?= ta n s in1 ta n 1 s inxx?? ? ? = 1 c o s 1 s inc o s1 ta n 1 s inx xxxx? ??? ? ?～ x ? ?0x? 所以，01 ta n 1 s inlim 1xxxx?? ? ? ?，故當(dāng) ? =1時(shí) 1 ta n 1 si nxx? ? ?與 x? 當(dāng) 0x? 時(shí)為同階無(wú)窮小量 利用積分中值定理求極限 一般根據(jù)積分第一中值定理 [4] ：若 f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)],[ ba?? ，使得 ? ??ba abfdxxf ))(()( ? 將某些含有積分的變量化為一般形式再求極限 . 例 求極限 ? ??10 30 11lim dxx??]3[ 14 第 14 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解： 由積分中值定理 ? ?10 3 11 dxx? = 113??? ， )10( ??? ， 111l i m11l i m 3010 30 ???? ?? ? ??? ?? dxx 利用定積分 求 和式 的 極限 利用定積分和式求極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù) )(xf ，把所求極限的和式表示成 )(xf 在某區(qū)間 ],[ ba 上的等分的積分和式的極限 [5] . 例 求極限 )12111(l im nnnnn ???????? ?? 解： nnnn ?????? 12111 ?? = ]11211111[1nnnnn ?????? ?? =????nk nnk1111 ○1 令 )(xf = 10,1 1 ??? xx ，則由定積分定義知 ? ???? ????10 1 11 1lim1 1 nkn nnkdxx ○2 又 ? ??10 2ln1 1 dxx ○3 由 ○ 1， ○ 2， ○ 3得 )12111(l im nnnnn ???????? ??= 2ln 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 15 第 15 頁(yè) 共 20 頁(yè) 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù) ???1n nu收斂，則 )(0 ??? nun ，運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù) ???1n nu收斂，然后得出它的通項(xiàng)極限 [6] . 例 求極限2)!(limnnnn ?? 解： 設(shè)2)!(nnann ? 則nnnnnn nnnnaa 2211 )!(])!
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