函數(shù)極限(存儲版)
【正文】 存在導數(shù)。如cosxelimx174。另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。xna163。……179。165。（見課本2 ）n174。+165。nn+1arctan解析：如例題3，設f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續(xù)，在(x,x+1)內(nèi)x例4：求limn2(arctan可導。165。那么存在N1,當xN1,有a/MN2時，0Ni時，0那么當xN,有(a/M)^n第五篇：12函數(shù)極限高等數(shù)學教案167。當自變量x的絕對值x無限增大，記x174。a（a為有限實數(shù)）時函數(shù)f(x)的極限與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值a時的函數(shù)極限可理解為：當x174。217。a時的變化趨勢。a例2 證明lim(3x2)=174。證明lim2x174。取d=min{e。a時的左極限。a時極限存在219。0時極限不存在。時，函數(shù)f(x)的極限（一）當x174。165。limf(x)=limf(x)=A。165。a(局部有界性)若limf(x)=A,存在某個d00和常數(shù)M0,當0xx0d0時,有x174。g，fax174。a注意：公式（1）、（2）可以推廣到任意有限個函數(shù)的情況。x1,x0239。x+1（注意求limf(x)時，由于時分段函數(shù)，所以要求在x174。x0x174。x174。x0B20，于是由局部保號性定理知，存在d40，（3）因為limg(x)=B185。x0g(x)B163?，F(xiàn)在取d=min{d1,d2,d3}，于是當0|xx0|d時，有|f(x)g(x)AB|163。（1）取d=min{d1,d2}，于是當0|xx0|d時，有|(f(x)+g(x))(A+B)|163。x0f(x)A=，（當 B≠0時）x174。0239。165。ag(x)limg(x)x174。limg(x)；x174。a2AA有|f(x)A|e0，因而f(x)Ae0=A=A若Ax174。xxⅤ、函數(shù)極限的性質(zhì)下面以limf(x)為代表敘述函數(shù)極限的性質(zhì)，174。165?？紤]的是所有大于M的實數(shù)（連續(xù)），而不僅僅是正整數(shù)(跳躍性的)。+165。0Ⅳ、當x174。例4 函數(shù)f(x)=sngx=237。x174。f(x)(x)的左極限和右極限。因為2x+11,222。0)證明：對e0，要使得(ax+b)(ax0+b)=a(xx0)=axx0e，只須xx0ea，所以取d=ea0顯然當xx0d時，有(ax+b)(ax0+b)e。例1 證明limC=C,(C為常數(shù)).x174。函數(shù)極限概念側重于描述f(x)在x174。a$d0，說明：（1）“x與x0充分接近”在定義中表現(xiàn)為：有0xx0d，即x206。求曲線的切線可歸結為求出曲線在定點的切線斜率，從數(shù)量上看，動割線的斜率的極限就是切線的斜率。對于函數(shù)，自變量的變化主要表現(xiàn)在兩個方面：自變量x任意接近于有限值a，記為x174。不妨設f1(x)趨于a。165。x2aaarctan),a0n174。xtan247。A=B。165。yn+1179。附：例1：對任意給定的e206。一般需baba要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。例如f(x)g(x)的極限轉化為求eg(x)lnf(x)的極限等等。、165。a時，f(x)f39。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積sinxx因子，而對于加減法運算則不能運用。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數(shù)g(x)與h(x)，并且要滿足g(x)163。P(x)與Q(x)的最高次項系數(shù)之比；若nm，則f(x)174。運用函數(shù)極限的性質(zhì)可以方便地求出一些簡單函數(shù)的極限值。39。以x174。函數(shù)極限是高等數(shù)學中的一個重要問題。證明：f(x)186。f(x0－0)=supf(x)=A0x206。 ：(1)limn!(2)limn174。證明n174。(2)lim231。1+230。a6． 設f(x)=x cos x。2)x+1axb)=0x+1axb=0x174。231。232。165。9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))總 練習題1． 求下列極限：1(x[x])lim([x]+1)(1)lim。(2)y = arctan x。+(3)+x1=o(1)(x→0)。252。233。248。0xx(3)lim(1+tanx)x174。xcosx2(9)lim。0xxsin2xsin2a1(7)limxsin。習題sin2xsinx3(1)lim。165。n174。+165。165。x0(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x)，問是否必有A B ? 為什么？（2）證明：若AB,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x).（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim x174。x0（3）limx174。0xx4x174。41（7）limx174。px174。x(3)f(x)=237。(x)≠ 174。(2)lim(x26x+10)=2。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。教學要求：使學生逐步建立起函數(shù)極限的ed定義的清晰概念。 1 函數(shù)極限概念（3學時）教學目的：使學生建立起函數(shù)極限的準確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關命題。教學重點：海涅定理及柯西準則。6x+5=6。x04x2=0。2x。(2)lim。1xx174。(2)lim2x174。x174。x0x174。0x1+x1x(5)limx174。0習題(x)的歸結原則,并應用它證明limcos 174。)上有上(下).(1)敘述極限limf(x)的柯西準則?！?(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都n174。+165。0x174。0tanx。x174。01x232。165。x2xx249。(2)x sinx=O(x)(x→0)。xcosxx3． 4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：13x3+4(1)y =。s，使得xn→+∞(n→∞)8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K0，則fg為x→r時的無窮大量。(5)limxxax174。11xm1x248。+165。x174。Alimg(f(x))=B?x174。ann2n28． 利用上題（1）的結論求極限：
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