數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念(存儲(chǔ)版)
【正文】 7 證明： ).1||(11lim 02020????? xxxxx證 因?yàn)? 22 000 220| || |1111x x x xxxxx??? ? ? ?? ? ?則 ,0??? ,21 20x?? ??取00 | |xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí)，22 00 202 | || 1 1 | .1xxxxx??? ? ? ? ??這就證明了所需的結(jié)論 . 0202 | | ,1xxx???返回 后頁 前頁 在上面例 題中 , 需要注意以下幾點(diǎn)： , 我們強(qiáng)調(diào)其存在性 . 換句話說 , 對(duì)于 固定 1. 對(duì)于 ?的 ,? 不同的方法會(huì)得出不同的 ? , 不存在哪一個(gè)更 好的問題 . 數(shù) 都可以充當(dāng)這個(gè)角色 . 3. 正數(shù) ? 是任意的 ,一旦給出 ,它就是確定的常數(shù) . , 那么比它 更小的正 是不惟一的 , 一旦求出了 ??.2返回 后頁 前頁 有時(shí)為了方便 ,需要讓 ? 小于某個(gè)正數(shù) . 一旦對(duì)這 為貴” . 當(dāng)然也能滿足要求 . 所以我們有時(shí)戲稱 ? “ 以小 樣的 ? 能找到相應(yīng)的 ? , 那么比它大的 ? , 這個(gè) ? 返回 后頁 前頁 平面上以 y =A為中心線 , 寬為 的窄帶 , ?2 可 以找到 ,0?? 使得曲線段 ),(),( 0 ?xUxxfy ???4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖 , 0,? ?任 給 對(duì)于 坐標(biāo) 落在窄帶內(nèi) . ??? Ay Ay???? AyO xy??0x 0x ??0x返回 后頁 前頁 三、單側(cè)極限 ，時(shí)在考慮 )(lim0xfxx ?x 既可以從 x0 )( 0xx ?的左側(cè) 但在某些時(shí) .)( 000 xxxx 趨向于的右側(cè)又可以從 ?定義 5 ,)),((),()( 00 有定義在設(shè) ?? xUxUxf ?? ?? A 為常 數(shù) . 若對(duì)于任意正數(shù) ? , ,）（存在正數(shù) ??? ?在定義區(qū)間的端點(diǎn)和分段函數(shù)的分界點(diǎn)等 . 候 ,我們僅需 (僅能 )在 x0的某一側(cè)來考慮 , 比如函數(shù) 返回 后頁 前頁 | | ,f x A ???（）則稱 A 為函數(shù) f 當(dāng) 00()x x x x????時(shí)的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx ?? ?? ??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 , 為了方便起見， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx ?? ?? ????時(shí)，有當(dāng) )0(0 00 ?? ?????? xxxx極限 ,記作 有時(shí)記 返回 后頁 前頁 例 7 討論函數(shù) .11 2 處的單側(cè)極限在 ??? xx解 因?yàn)? ,1|| ?x ),1(2)1()1(1 2 xxxx ??????.|01| 2 ???? x.01lim 21 ???? xx這就證明了.01l i m 21 ????? xx同理可證所以 有時(shí)當(dāng) ,11 ??? x? ,2,02??? ??? 取返回 后頁 前頁 由定義 ，我們不難得到： 注 試比較定理 與定理 180。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點(diǎn) x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點(diǎn) x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運(yùn)算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 返回 后頁 前頁 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 , 這 就可以知道這些定理是顯然的 . 里將證明留給讀者 . 在下一節(jié)學(xué)過歸結(jié)原則之后 , 返回 后頁 前頁 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 0 0 .2??
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