數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念-wenkub
2022-08-31 12:13:03 本頁面
【正文】 ??? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因?yàn)閺亩?,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁 前頁 且設(shè) ,)(l i m)(l i m00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個(gè)空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(l i m0Axhxx ??那么證 因?yàn)? 所以對于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時(shí)當(dāng)存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁 前頁 .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點(diǎn) 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁 前頁 。xx xx? ?注 在例 例 6中 , 我們將所考慮的式子適當(dāng)放大 , 不是“最佳”的 , 但這不影響我們解題的有效性 . 其目的就是為了更簡潔地求出 ? , 或許所求出的 ? 0 0( 2 ) l i m c os c os .xx xx? ?返回 后頁 前頁 證 首先，在 右圖所示的單位圓內(nèi) , π0,2x??當(dāng) 時(shí)顯然有 即 ,O A BO A DO A D SSS ?? ?? 扇形,t a n2121s i n21 xxx ??故 πs i n t an 0 .2x x x x??? ? ? ?????O C D B A y x x 返回 后頁 前頁 .0 時(shí)成立上式中的等號(hào)僅在 ?xπ ,2x ?因 為 當(dāng) 時(shí) ,0,1s i n ??? xxx 故對一切R.,s i n ?? xxx.s in xx ? ,sin x 故均是奇函數(shù) ,x又因?yàn)橛?00si n si n 2 c os si n22x x x xxx ????對于任意正數(shù) ,?? ?取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx,?0 ,xx ?? ? ?返回 后頁 前頁 .s i ns i nl i m 00xxxx ??同理可證 : .c o sc o slim 00xxxx ??所以返回 后頁 前頁 例 7 證明： ).1||(11lim 02020????? xxxxx證 因?yàn)? 22 000 220| || |1111x x x xxxxx??? ? ? ?? ? ?則 ,0??? ,21 20x?? ??取00 | |xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí)，22 00 202 | || 1 1 | .1xxxxx??? ? ? ? ??這就證明了所需的結(jié)論 . 0202 | | ,1xxx???返回 后頁 前頁 在上面例 題中 , 需要注意以下幾點(diǎn)： , 我們強(qiáng)調(diào)其存在性 . 換句話說 , 對于 固定 1. 對于 ?的 ,? 不同的方法會(huì)得出不同的 ? , 不存在哪一個(gè)更 好的問題 . 數(shù) 都可以充當(dāng)這個(gè)角色 . 3. 正數(shù) ? 是任意的 ,一旦給出 ,它就是確定的常數(shù) . , 那么比它 更小的正 是不惟一的 , 一旦求出了 ??.2返回 后頁 前頁 有時(shí)為了方便 ,需要讓 ? 小于某個(gè)正數(shù) . 一旦對這 為貴” . 當(dāng)然也能滿足要求 . 所以我們有時(shí)戲稱 ? “ 以小 樣的 ? 能找到相應(yīng)的 ? , 那么比它大的 ? , 這個(gè) ? 返回 后頁 前頁 平面上以 y =A為中心線 , 寬為 的窄帶 , ?2 可 以找到 ,0?? 使得曲線段 ),(),( 0 ?xUxxfy ???4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖 , 0,? ?任 給 對于 坐標(biāo) 落在窄帶內(nèi) . ??? Ay Ay???? AyO xy??0x 0x ??0x返回 后頁 前頁 三、單側(cè)極限 ，時(shí)在考慮 )(lim0xfxx ?x 既可以從 x0 )( 0xx ?的左側(cè) 但在某些時(shí) .)( 000 xxxx 趨向于的右側(cè)又可以從 ?定義 5 ,)),((),()( 00 有定義在設(shè) ?? xU
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